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1、 - 1 - 第十届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛） 第十届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛） 详细参考解答及评分标准 详细参考解答及评分标准 出题学校： 评分总体原则 评分总体原则 各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而 结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达 了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。 本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。 第第 1 题题（30 分） 某工厂利用传送带运输边长为 b 的均质正方体货箱。已知货箱质量为 m，绕
2、自身中心轴的转动 惯量为 J， 并且 2 6mbJ ， 传送带 A 倾角为（ o 45） ， 速度为 0 v，传送带C水平放置，B处为刚性支承。考虑 货箱与传送带之间的摩擦，设两者之间的静摩擦因数为 s f，动摩擦因数为f，并且 10 f。 (1) 若货箱在O处由静止轻轻放在传送带A上，如 图 (A) 所示，试判断货箱在到达刚性支承B之前是否会 翻倒，并论证你的结论。 (2) 当货箱运动到传送带A底部时，其角部恰好与 刚性支承B的顶端发生撞击，假设撞击过程为完全非弹 性碰撞，货箱能顺利翻过刚性支承B到达传送带C，如 图 (B) 所示，则释放点O到传送带A底部的位置s应该 满足什么条件？（忽略两
3、个传送带之间的距离） 解答及评分标准 解答及评分标准 (1) （本小题 12 分）首先分析货箱在传送带上的运动首先分析货箱在传送带上的运动。 由于货箱静止放置在传送带上，而传送带具有速度 0 v，所以初始运动阶段，货箱相对于传送带 产生滑动。该阶段货箱受力如图 1-a(A) 所示，图中 G 为 货箱重力， F 为摩擦力， FN为传送带给货箱的法向反力， a1为货箱在初始加速阶段的加速度。 由质心运动定理， FGmasin 1 ， (1-1a) 0cos N GF 。 (1-1b) 式中， N FfF 。由式 (1-1) 得货箱质心的加速度 cossin 1 fga 。 (1-2) 图图 1-a
4、 (A)(B) G F FN a1 F G FI1 M x1 FN (A) 题题 1 图图 (B) A O v0 B C C A v0 s O B - 2 - 当货箱与传送带同速的瞬间，二者相对静止，无滑动摩擦。货箱的最大静摩擦力 cos sNsmax GfFfF。 (1-3) 此后，若货箱重力沿斜面向下的分量 sinG 大于该静摩擦力，货箱还将继续向下做加速运动，并且 受力如图1-b(A) 所示，此时满足 cossin sG fG。 (1-4) 由上式解得 s arctan f。 (1-5) 按照上述方法求解得该阶段货箱的加速度 cossin 2 fga 。 (1-6) 当 s arctan
5、 f，货箱与传送带同速后将一起以速度 0 v作匀速运动。 再分析货箱是否会倾倒再分析货箱是否会倾倒。货箱相对于传送带滑动过程中，可能存在两种倾倒情况：初始加速阶 段绕右下角M点倾倒，或同速后再次加速阶段绕左下角N点倾倒 。在货箱上考虑惯性力，记货 箱在上述两种情况下的惯性力分别为 11 F 和 12 F，利用达朗贝尔原理求解。如果考生只考虑了一种 货箱可能翻倒的情况，此处只给 分。 首先分析货箱绕右下角M点倾倒情况。设 N F 距M点距离为 1 x，如图1-a(B) 所示，根据达朗 贝尔原理， 0F M M，0 22 cos 2 sin 1N1I xF b F b G b G， (1-7a)
6、0 y F， 0cos N GF。 (1-7b) 式中， cossin 1I1 fGmaF 。 (1-8) 由式 (1-7)、(1-8) 得 2 1 1 b fx 。 (1-9) 再分析货箱绕左下角N点倾倒情况。设 N F 距N点距离为 x2，如图1-b(B)所示，同样有 0F N M， 0 22 cos 2 sin 2N2I xF b F b G b G， (1-10a) 0 y F， 0cos N GF， (1-10b) 式中， cossin 2I2 fGmaF。 (1-11) 利用式 (1-10)、(1-11) 得 2 1 2 b fx 。 (1-12) 由于 10 f，所以式 (1-9
7、) 和式 (1-12) 满足 0 1 xb， 0 2 xb 。 (1-13) 即货箱在传送带A上运动时不会翻倒。 如果考生只分析了一种货箱可能翻倒的情况， 但仍然得出 “不会翻倒”这一结论，则此处不给分。 (2) （本小题 18 分）设货箱运动到底部与钢支承B撞击之前质心速度为 1 v。货箱从O点开始运 动，直到到达传送带C整个运动过程分三个阶段。第一阶段：从O点运动到传送带底部并获得速度 1 v；第二阶段：撞击刚性支承B；第三阶段：撞击后货箱运动到传送带C。 图图 1-b (A)(B) G F FN a2 G F FI2 N x2 FN - 3 - 先分析撞击过程。先分析撞击过程。由于货箱和
8、支承B碰撞过程为完全非弹性，所以撞击后货箱不会弹起，而是 绕着碰撞点B作转动 ，碰撞前后质心速度方向发生突变。设碰撞后货箱质心速度为 2 v，角速度 为 2 ，碰撞前后的速度方向及碰撞冲量如图1-c所示。 由图1-c(B)，碰撞冲量满足 0I B M ， (1-14) 所以撞击前后货箱对B点的动量矩守恒，即 221 2 2 2 Jbmv b mv (1-15) 式中，碰撞后速度 22 2 2 bv ， 2 6 1 mbJ 为货箱相对于质心的转动惯量。将两式代入式 (1-15) 可 得撞击后货箱的角速度 b v 4 3 1 2 。 (1-16) 再分析撞击后货箱的运动再分析撞击后货箱的运动。由于
9、碰撞结束后货箱运动过程中只有重力做功。故可利用机械能守 恒求解。撞击结束瞬间，如图1-d(A)所示，货箱的动能 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 3 1 6 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 mbmbbmJmvT (1-17) 选取B点为零势能点，则在该位置货箱势能 22 GhV 。 (1-18) 只有货箱跨过图1-d(B)位置，才能到达传送带C， 设该位置货箱的动能为 3 T，撞击后，货箱能翻到传送带 C的条件是0 3 T 。货箱的势能为 33 GhV 。 (1-19) 根据机械能守恒定律 3322 VTVT 。 (1-20) 将式 (1-17) (1-19) 代入上
10、式得 332 2 2 2 3 1 GhTGhmb。 (1-21) 由上式解得 32 2 2 2 3 3 1 hhGmbT 。 (1-22) 因此，要满足 0 3 T，需有 )( 3 23 2 2 2 hh b g 。 (1-23) 图图 1-c (A) (B)(C) v1 B H I B H B H v22 图图 1-d (A)(B) B H v3 3 B v2 2 H h2 h3 - 4 - 从图1-d中易求得 )45sin( 2 2 2 bh，bh 2 2 3 。将以上各式连同式 (1-16) 代入式 (1-23)，得货 箱能够达到传送带C的条件是 )45sin(1 3 28 2 1 gb
11、v， (1-24) 即货箱滑到底部，与刚支承B碰撞前至少具有如下速度 )45sin(126 3 2 min1 gbv 。 (1-25) 最后分析撞击前货箱能达到该最小速度的条件。 最后分析撞击前货箱能达到该最小速度的条件。 由问题 (1) 可知，当 s arctan f，货箱与传送带同速后，将以速度 0 v作匀速运动，此时若 min10 vv ，则货箱释放点位置应满足 )cos(sin3 )45sin(124 2 1 2 min1 min f b a v s 。 (1-26) 若 min10 vv ，s不管取何值，均无法满足要求。 当 s arctan f，货箱与传送带同速后还将继续向下作加速
12、运动，此时若 min10 vv ，则货箱速度 未与传送带同步之前已经达到 min1 v，s的表达式同式 (1-26) ；若 min10 vv ，则货箱与传送带同速 之后还需继续向下运动直至速度达到 min1 v，并且 2 2 0 2 min1 1 2 0 21 22a vv a v sss 。 (1-27) 将式 (1-2)、式 (1-6) 和式 (1-25) 代入得 )cos(sin cos )cos(sin3 )45sin(124 222 2 0 min fg vf f b s 。 (1-28) 第第 2 题题（25分） 动物园要进行猴子杂技表演，训猴师设计了如下装置：在铅垂面内固定一个带
13、有光滑滑槽，半 径为 R 的圆环，取一根重为 P，长为 Rl3 的均质刚性杆 AB放置在圆环滑槽内，以便重为Q的 猴子沿杆行走，已知 QP2。 (1) 如图 (A) 所示，试求猴子处于距杆AB端点A距离为d时，杆的平衡位置？（用杆AB与水 平线的夹角表示） 题题 2 图图 (A) (B) O R A B d R O A B - 5 - (2) 设两只重量均为Q的猴子同时进行训练。训猴师首先让猴甲静坐在杆AB的A端，并且使 猴甲-杆系统处于平衡，然后让猴乙从杆的B端无初速的沿杆向猴甲运动，如图 (B) 所示。试问猴乙 应该如何走法才能不破坏原猴甲-杆系统的平衡状态？ 解答及评分标准解答及评分标准 (1) （本小题 10 分）解法一：解法一：采用分析静力学方法，利 用虚位移原理寻求猴-杆系统的平衡位置。 建立坐标系如图2-a 所示，用K表示猴子的位置。由于A、B处为理想约束，约束 力 A N和 B N在相应的虚位移不做功，系统只有重力做功。设 AB杆的质心为C，则圆心O到杆AB质心C
