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1、Ch6 双变量回归模型的扩展双变量回归模型的扩展 6.1 过原点回归过原点回归 1.对于模型对于模型 iii uXY+= 2 （6.1） 即截拒不出现在模型中即截拒不出现在模型中,故称为过原点回归。其图形为故称为过原点回归。其图形为 i Y i X i i X Y =SR: 2 0 图图 6.1. 过原点回归过原点回归 例子：考虑现代组合证券理论中的资产定价模型例子：考虑现代组合证券理论中的资产定价模型 CAPM，即，即 )()( fmifi rERrER= (6.2) 其中其中, 第 种证券的期望回报率第 种证券的期望回报率; = i ERi m ER市场组合证券的期望回报率市场组合证券的期
2、望回报率,如由标准蒲尔如由标准蒲尔 500 重合股指度 量证券组合的期望回报率 重合股指度 量证券组合的期望回报率; f r无风险回报率无风险回报率,如如 90 天国库券回报率天国库券回报率; i 为为系数， 度量第 种证券回报率与市场互动程度系数， 度量第 种证券回报率与市场互动程度,大于大于 1 的的i i 意味着高波动性或进功性的证券意味着高波动性或进功性的证券,小于小于 1 的的 i 则意味着一种防御型证 券 则意味着一种防御型证 券. 如果如果 CAPM，将（，将（6.2）表达为）表达为 i u fmifi rERrER+=)()( 对模型（对模型（6.1） ，运用） ，运用 OLS
3、，即对，即对 2 i u求最小求最小,产生产生 = 2 2 i ii X YX （6.3） = 2 2 2) var( i X （ （6.4） 1 2 2 = n u （6.5） 注意：注意： (1). 过原点回归的，残差均值不一定为过原点回归的，残差均值不一定为 0。 (2). 2 R可能为负值。可能为负值。 2. 过原点回归的粗过原点回归的粗 2 R 粗粗 = 22 2 2 )( ii ii YX YX R （6.6） 不难看出，粗不难看出，粗 2 R也为原始数据的平方和组成，且取值在也为原始数据的平方和组成，且取值在 01。 注注意：粗意：粗 2 R与与 2 R不可比，通常不报告。不可比
4、，通常不报告。 6.2 尺度与测量单位尺度与测量单位 问题：对于问题：对于 X 和和 Y 的数据，同时改变测度单位，对参数估计会产生 什么影响？ 的数据，同时改变测度单位，对参数估计会产生 什么影响？ 这一问题可表述为：这一问题可表述为： Y*w1Y X*w2X 对于使用对于使用 X 和和 Y 的原始数据的模型的原始数据的模型 uXY+= 21 和使用数据和使用数据 X*和和 Y*的模型的模型 * 2 * 1 * uXY+= 估计的参数估计的参数(和之间,和和之间,和 )之间有什么关系之间有什么关系. 由由 * * 21 * 2 (/) () ii i x y ww x 22 = 同理同理,有
5、有 11 * 1 w= 且且 * 22 2 2 21 * 2 1 2 1 * 1 22 1 2* ) var()/() var( ) var() var( )( YXXYRR ww w w = = = = 当当 w1= w2, 估计的斜率无变化，但截距变化估计的斜率无变化，但截距变化,方差变化方差变化. 当当 w1 w2时时, 估计的斜率和截距均有变化估计的斜率和截距均有变化. 单位变化，估计量的性质不发生改变单位变化，估计量的性质不发生改变. 6.3 标准化变量的回归标准化变量的回归 原方程：原方程： uXY+= 21 令：令： Y s YY Y = * X s XX X = * * 2 *
6、 2 * 1 * uXuXY+=+= 估计系数的含义？估计系数的含义？ )( 2 * 2 Y X s s = 6.4 回归模型的函数形式回归模型的函数形式 1. 对数线性模型对数线性模型 2. 半对数模型半对数模型 3. 倒数模型倒数模型 6.5 对数线性模型：弹性测量对数线性模型：弹性测量 iii uXY+=lnln 2 tt tt i i i i i i XX YY dX dY Y X Xd Yd / / ln ln 2 = 其意义为，当其意义为，当 X 变化变化 1，Y 的变化率为的变化率为% 2 。 考虑指数回归模型考虑指数回归模型 （6.7） i u ii eXY 2 1 = 取对数
7、，取对数， iii uXY+=lnlnln 21 （6.8） 例子：耐用消费品支出与消费总支出：例子：耐用消费品支出与消费总支出： PCEREXPDUln905. 16971. 9 ln+= 6.6 半对数模型半对数模型 1. 线性线性-对数模型对数模型 iii uXY+= 2 ln t t t t t X Y Y dX Yd =/ ln 2 其意义为，当其意义为，当 X 变化变化 1 单位，单位，Y 的变化率为的变化率为%100 2 。 例子：不变增长率模型例子：不变增长率模型.考虑复利公式考虑复利公式 t t rYY)1 ( 0 += )1ln(lnln 0 rtYYt+= tt utY+
8、= 21 ln （6.9） 对于这种模型，对于这种模型， t Y Y t Y Ydt dY Ydt Yd t tt tt t = =/ 11ln 2 =（回归子（回归子 Y 的相对变化）的相对变化）/回归元的绝对变化回归元的绝对变化 =瞬时增长率瞬时增长率 例子：美国实际例子：美国实际 GDPR， 以以 1987 年（基期）价格为期价格计算。年（基期）价格为期价格计算。 模型估计为：模型估计为： lnGDPR8.010.024698.010.02469t+ +e。 2.对数线性模型对数线性模型 iii uXY+=ln 21 （6.10） = 2 （ XX Y / ） （6.11） 其意义为，当
9、其意义为，当 X 变化变化 1，Y 的变化量为的变化量为 0.01 2 。 例子：例子： 食物支出食物支出-1283.192+257.27 ln 总支出总支出 6.7 倒数模型倒数模型 i i i u X Y+=) 1 ( 21 （6.12） 这一模型的特点：关于参数是线性的，但关于变量是非线性的，所以 从回归的角度看，这是一个线性回归模型；当 这一模型的特点：关于参数是线性的，但关于变量是非线性的，所以 从回归的角度看，这是一个线性回归模型；当 X 趋于无穷大时，趋于无穷大时，1/X 趋于趋于 0，而，而 Y 则趋于则趋于 1 。 例子：附加预期的例子：附加预期的 Phillips 曲线：曲
10、线： t t e t u UN +=) 1 ()( 21 )( 1 = tt Y tt UNX = Simple inference + slide 28 Model: Yi= 1+ 2(1/Xi) + ui As X Y 1(the asymptote) Ex: the Philips curve trade-off between inflation and unemployment inflt= -1.43 + 8.27(1/Ut) maximum deflation = 1.43% when infl=0 U* = 5.8% 8.27/1.43 = 5.8 Unemployment r
11、ate, % Inflation rate, % 0 -1.43 Natural rate of Unemployment (5.8%) 3. Reciprocal models 图图 6.4. 倒数模型及其对菲氏曲线性应用倒数模型及其对菲氏曲线性应用 6.8 函数形式选择函数形式选择 1. 经济理论经济理论 2. 先验信息先验信息 3. 弹性更具经济意义弹性更具经济意义 4. 被解释变量不同时，模型的被解释变量不同时，模型的 R2不可比。不可比。 5. 不能过分强调不能过分强调 R2的作用的作用. 6.9 相加性和相乘性误差项相加性和相乘性误差项 无论是何种设定的模型， 只要是关于参数的线性
12、模型，均可以运 用 无论是何种设定的模型， 只要是关于参数的线性模型，均可以运 用 OLS 进行估计，但对于残差而言，只能对变换后模型的残差诊断 其是否为正态，而不是直接对原始扰动进行检验。对下述模型 进行估计，但对于残差而言，只能对变换后模型的残差诊断 其是否为正态，而不是直接对原始扰动进行检验。对下述模型 iii uXY 2 1 = i u ii eXY 2 1 = iii uXY+= 2 1 取对数，对应有取对数，对应有 iii uXYlnlnlnln 21 += （6.13） iii uXY+=lnlnln 21 （6.14） )ln(ln 2 1iii uXY+= （对参数非线性）（对参数非线性） （6.15） 运用运用 OLS 估计（估计（6.13） ，经典假定是） ，经典假定是 （6.16） ), 0(. .ln 2 Ndi iui 因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差进行诊断， 而不是对原始的残差。 因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差进行诊断， 而不是对原始的残差。 i un l 若若(6.16)成立成立, ui为均值为、方差为为均值为、方差为( 1)的对数正态分布。的对数正态分布。 )2/exp( 2 )2/exp( 2 )2/exp( 2 本章重点：本章重点： 对数、半对数模型对数、半对数模型 8
