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1、椭圆及标准方程,主讲人:刘淑芬,生活中或是自然界中有哪些常见的椭圆图形？,想一想,观察以下几组图片,我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数学中的椭圆及其标准方程,椭圆定义：,平面内于两定点F1、F2距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。,第一定义：,椭圆第二定义（准线定义）,平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。,动手实践 画一画,1、取一条长度一致的细绳（设为2a0）. 2、两端固定在铺在桌面上的白纸上的两定点F1、F2
2、处，(|F1F2|2a). 3、笔尖将细绳拉紧，在纸上慢慢移动。 4、看看能得到什么样的图形？,通过实践画一画，我们了解了椭圆图形，那么椭圆的标准方程及其图像又是怎样的呢？,焦点在x轴上：,焦点在y轴上：,对于 ，只要A、B、C同号 就是椭圆方程，可化为,注意！,椭圆方程推导,建立适当的直角坐标系： 以直线F1F2为X轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系。 设点：设p(x,y)是椭圆上的任意一点， F1F2=2c，则F1（-c,o）,F2（c,o）; 根据条件PF1+PF2=2a得 (1)化简：（方法一：两边平方） （a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2) 问能否美化
3、结论的形象？ ac0,a2-c20,令a2-c2=b2则：b2x2+a2x2=a2b2 问由直线方程的截距式是否可以得到启发？ 椭圆方程为：,（法二：分母有理化）对（1）进行分子有理化得： 两边取倒数化简得 （1） （1）+（2）得： = +a （3） 对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。,几何性质,x,o,x,续表,练一练,已知椭圆的方程为 ，则a=_,b=_, c=_,焦点坐标为：_,焦距_。,5,3,4,6,求解标准方程的基本方法：,一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。,例1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方
4、程。,解：由PF1PF22F1F2224，得 2a4. 又c1，所以b23. 所以椭圆的标准方程是,求解标准方程的基本方法：,二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。,例：1. 椭圆的一个顶点 为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程,解：（1）当 为长轴端点时，a=2，b=1， 椭圆的标准方程为： ； （2）当 为短轴端点时，b=2，a=4， 椭圆的标准方程为：,求解标准方程的基本方法：,三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。,解：因为 945，所以设所求椭圆的标准方程为 . 由点(3,2)在椭圆上知 ，所以 15.所以所 求椭圆的标准方程为,例求过点(3,2)且与椭
5、圆 有相 同焦点的椭圆的标准方程,求解标准方程的基本方法：,四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。,解：由题意，设椭圆方程为 ， 由 ， 得 ，,例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线 x+y-1=0线交于A、B两点，为中点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆方程。,总结,|MF1|+|MF2|F1F2| 椭圆 |MF1|+|MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+|MF2|F1F2| 不存在,一、,二、,无论焦点在x轴还是y轴上，椭圆的离 心率总是小于1，焦距都为2c。,无论焦点在x轴还是y轴上，椭圆的离 心率总是小于1，焦距都为2c。,三、,课后习题,配套练习：第一课时,谢谢观赏,
