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1、装备强化小结装备强化小结 写在前面写在前面 笔者出道伊始，见识浅薄，着笔粗陋，或有错漏，忐企斧正。闲话不表，言归正传。 引子引子 但凡有装备（等级）系统的游戏，一般都会遇到装备强化（或称“升星” ）的问题。对 此的讨论历久不衰，加上自补的细枝末节，不外乎以下几个问题： 问题一、已知：各级强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级开始，在固 定次数内，强化到某高级的概率。 问题一、已知：各级强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级开始，在固 定次数内，强化到某高级的概率。 问题二、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级 到某高级所需进行的平均强化次数及消耗。
2、 问题二、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级 到某高级所需进行的平均强化次数及消耗。 问题三、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级 开始进行固定次数强化，所能到达的平均等级及平均消耗。 问题三、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级 开始进行固定次数强化，所能到达的平均等级及平均消耗。 对此，同仁群策群力，公式结论、程序模拟各种实现方法层出不穷。即便如此，仍 有不少人理不清此些问题的内容和关系。特妄开此文，一则权作总结，二则以正视听。 理论准备：理论准备： 1、一般随机过程 （1） 、定义： 依赖于一个变
3、动参数的一族随机变量(), 。其中，变动参数的所有可取值的 集合为参数空间。 ()的值所构成的集合成为随机过程的状态空间。 例如， 从时间 = 开 始记录某电话总机的呼叫次数，设 = 时没有呼叫，至时刻的呼叫次数记作，则随机变 量族, 是随机过程。 （2）、马氏过程： 如果已知在时间系统处于状态的条件下，在时刻( )系统所处状态与时刻以前 系统所处的状态无关，此过程便为马尔可夫过程（随机过程的一个子类） 。例如，在布朗运 动中，已知时刻下的运动状态条件下，微粒在后的运动情况和微粒在以前的情况无关。 若()表示微粒在时刻的位置，则()是马尔可夫过程。 2、马尔科夫链 （1） 、定义： 设= ,是
4、一个随机变量序列，用“= ”表示时刻系统处于状态这一事件， 称() = (+= = )为事件“= ”出现的条件下，事件“+= ”出现的概率， 又称它为系统的一步转移概率。若对任意的非负整数、以及一切 ， 有(+= = ,= , = , ) = (+= = ) = ()，则称 是一个马尔可夫链。一步转移概率有以下的性质： ,(, = ,) = = ,(, = ,) 把各个状态之间的一步转移概率排成矩阵，成为状态矩阵： = 每个状态对应状态矩阵的第行。 3、步转移概率与步转移矩阵 （1） 、步转移概率 系统从状态恰好经过步转移到状态的概率。记作 = (+= = )。 （2） 、步转移矩阵 = 显然
5、， 为概率矩阵，即有： ,(, = ,) = = ,(, = ,) （3） 、切普曼科尔莫格洛夫方程 = = 由以上方程可以推出： = = 建模及符号规范：建模及符号规范： 装备基础等级为，最高等级为。在等级的时候进行一次强化操作，所能到达的等级 对应的概率为，即一步转移概率矩阵为： = 在等级进行一次强化操作的成本为，那么成本向量就是： = 另外，为表达方便，还需要以下几个工具矩阵： = ， ，第个元素为 = ， ，第个元素为 = ， ，单位矩阵对角线上第个元素为 并且规定：文中讨论涉及到的原始概率矩阵的各个状态（也即装备强化过程中的各个 等级）都是互通的（或者可遍历的，即从任何一个状态开始
6、，经过有限步，可以到达任何一 个其他状态） 。因此概率矩阵的最后一行，也就是顶级状态对应的强化概率向量，不应该 是： 而应该是： 即在顶级状态进行强化，将必然到达底级状态。 【问题一】 、已知：一步转移概率矩阵【问题一】 、已知：一步转移概率矩阵。计算：从。计算：从级开始，在级开始，在次内，强化到次内，强化到级的 概率。 级的 概率。 一、分析一、分析 前面已经知道，从等级开始进行次强化操作，恰好到达的等级的概率为 ，但是 在这个问题中应该注意的是，不论强化次数是否到达，只要到达级，就停止强化。这看 似使问题复杂化，实际上，只需将级转化成吸收态，就可轻易解决。因为，只要到达吸收 态，以后是否再
7、强化都不会影响结果。具体做法： （1） 、将的第行换作 ； （2） 、求，取结果矩阵的第行第列元素，即为所求。 二、实现及举例二、实现及举例 举例：一把 1 级的屠龙刀，最高可以升到 9 级，每次强化成功率 30%，失败率 70%。失 败会退一级，最差退到 1 级。那么在 1000 次内强化到 9 级的概率为多少？ 根据上面的结论，编写代码如下（程序前半部分用的是模拟方法，用以和后面 的理论方法进行比较，亦作验证用） ： clc;clearall;format long; %一步转移概率矩阵： P=0.7 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3
8、0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; n_bot=input(输入基础等级：); n
9、_top=input(输入目标等级：); n_up=input(输入强化次数：); %一、模拟方法： %1、概率累计矩阵： Q=zeros(9,10);Q(:,2)=P(:,1); for i=2:9 Q(:,i+1)=sum(P(:,1:i); end %2、模拟总人数及合格人数： N=1000000;n=0; %3、循环模拟体： for j=1:N up=0; x=1; while up=Q(x,i) clear all; P=0.1 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.
10、1 0.1 0.1 0.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.
11、0 0.0 0.0 0.0 1.0; x=input(输入基础等级： ); y=input(输入目标等级： ); c=ones(1,10); upgrade_time,total_cost=Markov(P,x,y,c); fprintf(一、矩阵方法：从等级%g强化到等级%g，平均需要进行%g次强化。n,x,y,upgrade_time); X(1)=0;X(2)=1/P(1,2); for n=2:9 S=0; for i=2:n S=S+P(n,i)*X(i); end X(n+1)=1/P(n,n+1)*(1+X(n)-S); end fprintf(二、递推方法：从等级%g强化到等级
12、%g，平均需要进行%g次强化。n,x,y,X(y)-X(x); 运行结果： 输入基础等级： 1 输入目标等级： 10 一、矩阵方法：从等级1强化到等级10，平均需要进行3117.36次强化。 二、递推方法：从等级1强化到等级10，平均需要进行3117.36次强化。 【问题三】 、已知：一步转移概率矩阵【问题三】 、已知：一步转移概率矩阵、成本向量、成本向量。计算：从。计算：从级开始进行级开始进行次强化， 所能到达的平均等级 次强化， 所能到达的平均等级及平均消耗及平均消耗 。 。 一、分析一、分析 1、根据一开始的知识预备中“步转移概率与步转移矩阵”部分， 表示从等级开 始，进行次强化，恰好到
13、达等级的概率。那么： = = 因为也是概率矩阵，所以的各行和都是1，从而,从小于顶级的任何一级开始,不论 经过任何次数强化，所能到达的平均等级一定小于顶级。这是因为： 如果: 1，且 = 那么: 实际上: = 2、下面计算平均消耗 。从级开始， 进行 1 1 次强化，消耗： 1 = = 进行 2 2 次强化，消耗： 2 = + 进行 3 3 次强化，消耗： 3 = + + , , = = = + + 进行次强化，消耗： 4 = + + + , , , = = = = + + + 由归纳法不难得到，进行次强化，消耗： = = 当然，如果 可逆，则有： = 二、实现及举例二、实现及举例 根据以上结
14、论，编写函数来计算和 ，如下： function Y,Cxn=Enhance(P,x,n,c) %已知：一步转移概率矩阵P，起始等级x，强化次数n和成本向量 %返回：n次强化总消耗的期望Y,所能到达的平均等级Y P_size,=size(P);Q=zeros(P_size); I=eye(P_size);Ix=zeros(1,P_size);Ix(x)=1; %计算Y： if x=P_size Y=P_size; else R=Pn; Y=1:1:P_size*R(x,:); end %计算Cxn： for i=1:n Q=Q+P(i-1); end Cxn=Ix*Q*c; 以本文问题二中第一
15、个强化规律为例，给出几个结果： 1、从各个等级开始进行 100 次强化操作： 从1级开始，进行100次强化，平均可到5.54652级，平均消耗215.295个宝石。 从2级开始，进行100次强化，平均可到5.57453级，平均消耗217.683个宝石。 从3级开始，进行100次强化，平均可到5.60919级，平均消耗220.69个宝石。 从4级开始，进行100次强化，平均可到5.68491级，平均消耗225.34个宝石。 从5级开始，进行100次强化，平均可到5.86418级，平均消耗236.603个宝石。 从6级开始，进行100次强化，平均可到7.62958级，平均消耗350.111个宝石。 从7级开始，进行100次强化，平均可到7.65554级，平均消耗354.087个宝石。 从8级开始，进行100次强化，平均可到7.9362
