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1、2020/7/6,机械系统与振动国家重点实验室,1,分岔与混沌,2020/7/6,2,机械系统与振动国家重点实验室,第一章 分岔,从一个例子说起 分岔的定义及类型 典型的分岔 求解方法 工程和自然界中的例子 分岔研究的历史与现状 分岔研究的意义,2020/7/6,机械系统与振动国家重点实验室,3,什么是分岔现象?,2020/7/6,4,机械系统与振动国家重点实验室,1 从一个例子说起,例1 Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题。这是Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。,一根理想的弹性直杆，在压力p的作用下，直的状态总是一种平衡位置。当压力p增加时，起初杆还是直的。
2、一旦超过了某个临界压力，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲变形，当p超过临界压力时，挠度s随压力增加得是很快的。这是一类典型的分岔问题。,图1 Euler杆,2020/7/6,5,机械系统与振动国家重点实验室,Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值,当,时，杆保持着原来的直线平衡稳定态，即,当,时，有三种平衡状态,原来的直线变成不稳定,态(保持直线)，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。偏向 +s 或-s 方向分岔出稳定的弯曲状态，即,2020/7/6,6,机械系统与振动国家重点实验室,图2 Euler直杆随压力变化的分岔图,2020/7/6,7,机械系统与振动国家
3、重点实验室,分岔的定义及类型,2020/7/6,8,机械系统与振动国家重点实验室,.1分岔的定义(Bifurcation),分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。泛指在一个动力学系统中，当控制参量改变时，其相图发生拓扑结构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳定性的变化等。 力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过 压杆的临界负荷时，会出现弯曲。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。,2020/7/6,9,机械系统与振动国家重点实验室,2.2 分岔的类型,我们知道Jacobi矩阵的特
4、征值确定系统状态的稳定性。对于一般动力系统，控制参数的变化会引起特征值的变化，当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为 在复平面的运动。由此也可以定义三种分岔类型:,1.叉型分岔、鞍-结分岔和霍普分岔,2020/7/6,10,机械系统与振动国家重点实验室,2020/7/6,11,机械系统与振动国家重点实验室,十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：,2020/7/6,12,机械系统与振动国家重点实验室,3. 局部分岔和全局分岔,2.静态分岔和动态分岔,局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构如何发生变化。全局分
5、岔则分析向量场的大范围的拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对局部分岔的研究就显得尤为重要。,静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等；动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周期分岔）等。,2020/7/6,13,机械系统与振动国家重点实验室,3 典型实例,2020/7/6,14,机械系统与振动国家重点实验室,典型实例,3.1 叉型分岔,上式中，x 是实数，
6、是可正可负的参数，令 =0，可知方程(1)的定态平衡解是,（1）,其平衡态的稳定性可由Jacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。,典型实例是,2020/7/6,15,机械系统与振动国家重点实验室,图3 叉型分岔超临界情况,图4 叉型分岔亚临界情况,我们再考虑另一种对称情况，即,平衡点,而对应特征值则为,对于图3，当 时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 时，这一支就变得不稳定了；一旦当 有新的平衡分支解 又变成稳定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解 ，在 时是不稳定的，则称之为亚临界分岔。,2020/7/6,16,机械系统与振动国家重点实验室,3.2 霍普分岔,是一
7、个平衡点，其Jacobi矩阵是,得出特征值,由此可见，当参数,由负变正时，,点（0，0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点。,分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，,（2）,2020/7/6,17,机械系统与振动国家重点实验室,令,经过变换可得,当,时，有,（3）,（4）,式（4）表明，轨线以常速度,旋转。而(3)式则说明还存在另一平衡态，即：,。这种情况与叉型分岔十分相似：,时，,是稳定焦点；,而当,时，,就变成不稳定点，,从而分岔出半径为,极限环。这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉。如下图所示。,的,2020/7/6,18,机械系统与振动国家重点实验室,图5 霍普分叉超临界情况,2020/
8、7/6,19,机械系统与振动国家重点实验室,3.3 鞍结分岔,典型方程,由,得平衡点,(a)当0时,解解 x0 为虚数，因此不存在平衡点。,方程的解在x0=0处发生了分裂。,（）,，说明上述,(b)当0时出现两个平衡点,2020/7/6,20,机械系统与振动国家重点实验室,图6 鞍结分岔,2020/7/6,21,机械系统与振动国家重点实验室,4 求解方法,研究分岔的一些方法,奇异性理论方法 庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法 中心流形法 李雅普诺夫-施密特约化（LS约化） 幂级数法 摄动法 Shilnikov法 数值法,2020/7/6,22,机械系统与振动国家重点实验室,奇异性理论方法,奇异
9、性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应用奇异性方法。 该方法参考： 1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988 2. Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力
10、学进展，1989, 19(2):59-66 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985,2020/7/6,23,机械系统与振动国家重点实验室,庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法,考虑微分方程 x=f（x），xRn （1） 设f（x）足够光滑，且f（0）=0。 现在研究对于某个给定正整数r2，通过坐标的多项式变换，使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。 庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r
11、2），f（0）=0，L=Df（0），则在原点附近存在一个坐标的r次变换，使得在新坐标系中，方程（1）化为下面的标准形： y=Ly+g2（y）+gr1（y）+gr（y）+o（yr） （2） 系统y=Ly+g2（y）+gr1（y）+gr（y）称为方程（1）的一个r阶（截断）PB范式。,2020/7/6,24,机械系统与振动国家重点实验室,需要注意： 1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。 2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定性性态仍然是一个未完全解决的问题。 3
12、.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的研究有很大帮助。,庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法,2020/7/6,25,机械系统与振动国家重点实验室,经典作品参考： (a) Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. Springer-Verlag, 1983 (b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71 (c) G
13、uckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983,如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。 如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它更好方法）。,庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法,2020/7/6,26,机械系统与振动国家重点实验室,中心流形定理,把一个对n维动力系统在奇异点附近的各
14、种性态的研究简化为一个m维（m=n)中心流形上的流的方程去研究。,在高维动态系统非双曲平衡点的领域，存在一类维数较低的局部流形，当系统的相轨迹在该流形上时，可能存在分岔等动力学行为，而在该流形之外，动力学行为非常简单。这类流形被称为中心流形。中心流形为研究分岔问题提供了一种降维方法。该方法将复杂的行为分离出来，可以在维数较低的中心流形上进行研究。,2020/7/6,27,机械系统与振动国家重点实验室,中心流形定理（Center Manifold Theorem） 考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)。对其在平衡点线性化，则雅克比矩阵为 A=df/dt(x0)。中心流形定理指出，如果f
15、(x)是r阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的 r 阶连续可导的稳定流形，存在唯一的 r 阶连续可导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）r-1 阶连续可导的中心流形。,中心流形定理,2020/7/6,28,机械系统与振动国家重点实验室,李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）,在静态分岔的分析中，常在奇异点附近把方程的局部问题，用李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）化为较低维数的方程的局部解问题去研究。,LS法的基本思想是把空间表示成两个子空间的直和，并将方程分别投射到这两个子空间上。这样得到两个方程，其中一个总有唯一解(由隐函数定理知），把求出的解代到另一方程中去，原来的方程求解问题变为求这个低维方
16、程的问题。,参考文献： 陈予恕， 非线性振动系统的分叉与混沌理论，1993，高等教育出版社。,2020/7/6,29,机械系统与振动国家重点实验室,幂级数法和摄动法,幂级数法 通过解的渐进展开，利用投影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于：静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考： (a) Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999 摄动法 包括：平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等，应用于：周期或概周期领域。,2020/7/6,30,机械系统与振动国家重点实验室,数值法,除摄动方法外，上述方法都属于定性研究。数值方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分岔解等方面，数值方法是必要的。 参考文献： (a) Kubicek M and Marker M. Computational Me
