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1、姓名 准考证号 绝密启用前 文科数学试题 第1页( 共4页)文科数学试题 第2页( 共4页) 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 本试卷4页, 2 3小题, 满分1 5 0分。考试时间1 2 0分钟。 注意事项: 1.答题前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效。 3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案用0. 5mm黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回
2、。 一、 选择题: 本题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1.设方程x 2= 2 x 的解集为A, 不等式6-3x0的解集为B, 则AB= A. -2, 2B. -2 C. x|xb0) 的左、 右焦点, 点P在椭圆C上, 且|P F1|= 3 |P F2|, 若线段P F1的中点恰在y轴上, 则椭圆的离心率为 A. 3 3 B. 3 6 C. 2 2 D. 1 2 6.在A B C中, 点O为A B C的重心, 设A B = a,A C = b, 则B O = A. 1 3 a+1 3 bB. -2 3 a+1 3 bC. 1
3、 3 a+2 3 bD. 2 3 a+1 3 b 7.若函数f(x)= x 2+ a(x+1)+1 x 为奇函数, 则曲线y=f( x) 在x=1 2处的切线方程为 A.y=5x+5 B.y=5x C.y=-3x+4 D.y=-3x+1 8.古希腊人早在公元前就知道, 七弦琴发出不同的声音, 是由于弦 长度的不同.数学家傅里叶( 公元1 7 6 8年1 8 3 0年) 关于三角函 数的研究 告 诉 我 们: 人 类 的 声 音, 小 提 琴 的 奏 鸣, 动 物 的 叫 声 都可以归结为一些简单声音的组合, 而简单声音是可以 用三角函数描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图像,
4、 图像的解析式 是f( x)=As i n( x+) (0,0) , 则 A.=3, = 6 B.=6, = 3 C.=3, = 4 D.=6, = 5 6 9.下图为一个圆柱挖去一部分所得几何体的三视图, 则挖去的几何体的最大体积是 A.3 0B.2 0C.2 5D.4 0 1 0.已知角的终边上有一点P(-4a,3a) , 其中a0, 则1 2 s i n2+ c o s2+1的值为 A. 4 5 B. 1 5 C. -1 5 D. 6 5 1 1.已知函数f(x)=x+ c o s(x+ 3) + 3 s i n(x+ 3) , 则f(x) 在区间0, 2 上的取值范围为 A.2, 6+
5、 3 B. 2, 6+ 3 C. 2, 2D. 0,1 1 2.已知函数f(x)= x 2-6 x+6,xa, ( 1 2) x+1 , xn-2. 1 8. ( 1 2分) 如图, 在直三棱柱A B C - A1B1C1中,A B C为直角,B C=2,C C1=4,D为 C C1的中点. ( 1) 求证: 平面A1B1D平面A B D; ( 2) 若异面直线A1B1与A C所成的角的正弦值是2 1 3 1 3 , 求三棱锥B - A1AD的体积. 1 9. ( 1 2分) 近年来, 中小学生近视人数急剧增加.从2 0 1 8年1 1月1日起, 省学生体质健康促进条 例 正式施行.根据条例规
6、定, 中小学校应当加强学生在校期间电子产品使用管理, 指导学生 科学规范使用电子产品; 严禁学生将个人手机、 平板电脑等电子产品带入课堂; 发现学生将 上述个人电子产品带入学校的, 实行统一保管.这是省教育厅为防控儿童、 青少年近视采取 的有力举措.为分析中小学生的近视程度, 我们规定: 视力4. 0,4.3) 为重度近视, 4.3,4.6) 为 中度近视, 4.6,4.9) 为轻度近视, 4.9,5.2 为正常视力.从某校高三学生中随机抽取2 0个人 的视力数据组成一个样本, 如下: 4.1 4.0 4.3 4.5 4.6 4.4 4.7 4.6 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 5.
7、0 4.9 5.0 4.9 4.9 5.0 5.1 ( 1) 把视力分为重度近视、 中度近视、 轻度近视、 正常视力四组, 列出这个样本的频率分布表, 并画出其频率分布直方图. 视力范围4. 0,4.3) 4.3,4.6) 4.6,4.9) 4.9,5.2 频数 频率 ( 2) 我们国家每年都要从高中毕业生中招考飞行员, 选拔飞行员的视力要求是5.0及以上.现 从这2 0人中选出正常视力的学生, 再从中随机抽取2人参加飞行员的招考报名, 求这 2人都符合视力要求的概率. 2 0. ( 1 2分) 已知抛物线C1的标准方程为y 2=4 x. ( 1) 若抛物线C1与斜率为k的直线l交于不同两点A
8、,B, 且 线段A B的中点在x=1( y0) 上, 证明k1. ( 2) 如图, 封闭曲线M是由抛物线C1与椭圆C2: x 2 4 +y 2 3 =1 围成的, C,D为M上关于x轴对称的不同两点,O为坐标原点, 试求O C D面积的最 大值. 2 1. ( 1 2分) 已知函数f( x)=e x- al nx+e 2. ( 1) 若x=2是f(x) 的极值点, 求a的值, 并求f(x) 的单调区间; ( 2) 证明: 当e a0恒成立. (二)选考题:共1 0分.请考生在第2 2,2 3题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请用2 B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.
9、 2 2. 选修4 - 4: 坐标系与参数方程 (1 0分) 在平面直角坐标系x O y中, 曲线C的方程为(x-1) 2+( y-1) 2=1. 以坐标原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则直线l的方程为c o s+s i n-4=0. ( 1) 求直线l的直角坐标方程和曲线C的极坐标方程; ( 2) 求曲线C上的点到直线l的距离的最小值. 2 3. 选修4 - 5: 不等式选讲 (1 0分) 已知函数f( x)=| 2x-a|. ( 1) 若不等式f(x)6的解集为x|-2x4 , 求实数a的值; ( 2) 在(1) 的条件下, 若f(x)+f( 1 2 x+3)2m2-4m+
10、1 1对一切实数m恒成立, 求x的 取值范围. 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 参考答案及解析 2 0 1 9年全国高三统一联合考试文科数学 一、 选择题 1.B 【 解析】 由 x 2 = 2 x , 即x2=4, 得x= 2, 则A= -2, 2 ; 由6-3x0, 解得x2, 则B=x|x3.8 4 1, 所以有9 5% 以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关. 故选D. 4.D 【 解析】选项A, 由条件得a或a, 所以错误; 选项B, 由条件得ab或a,b异面, 所以错误; 选项C, 由条件得a,b的位置关系平行、 相交、 异面都有可能, 所 以错误; 选项D
11、, 是线面垂直的性质定理.故选D. 5.C 【 解析】由定义得|P F1|+|P F2|=2a, 又|P F1|= 3 |P F2|, 所以|P F2|=a 2 , |P F1|=3 a 2 .因为线段P F1 的中点在y轴上,O为F1F2的中点, 由三角形中位线平 行于 底 边, 得P F2F1=9 0 , 所 以 a 2 () 2 +(2c) 2 = 3a 2 () 2 , 所以a= 2c, 所以e= 2 2 .故选C. 6.B 【 解析】因 为 点O为AB C的 重 心 , 设 点D为 边AC的 中 点 , 所 以B O =2 3BD =2 3 (AD -AB) = 2 3 1 2b-
12、a ()=- 2 3a+ 1 3b. 故选B. 7.C 【 解析】由函数f(x)=x 2+a( x+1)+1 x 为奇函数, 可得a=0, 所 以f(x)=x 2+1 x =x+ 1 x ,x0, f 1 2 ()= 5 2 , 所以切点坐标为 1 2 , 5 2 (). 由 f ( x)=1- 1 x 2, 得切线的斜率k= f 1 2 ()=-3, 所以所求切线方 程为y- 5 2 =-3x- 1 2 () , 即y=-3x+4.故选C. 8.C 【 解析】由题图知, 函数f(x) 的周期T= 21 1 1 2- 7 1 2 ()= 2 3 , 所以2 =2 3 , = 3 .把 7 1
13、2, 0 () 代入f(x)=As i n( x+ ) , 得As i n37 1 2+ ()=0, 所以s i n 7 4 + ()=0, 所以 7 4 +=k(kZ).又0, 所以= 4 .故选C. 9.D 【 解析】由三视图知, 圆柱的底面半径为2, 高为5, 挖去部分为底面是矩形的直棱柱, 因此, 当棱柱的底面 为正方形时, 挖去部分的体积最大, 此时正方形的边长 为2 2, 所以挖去的几何体的最大体积是2 22 2 5=4 0.故选D. 1 0. A 【 解析】不妨令a=1, 则s i n= 3 5 , c o s=- 4 5 , 所以 1 2s i n2 +c o s2+1=s i
14、 nc o s+2 c o s 2 = 3 5 - 4 5 ()+2 - 4 5 () 2 = 4 5 .故选A. 1 1.B 【 解析】f(x)=x+ c o sx+ 3 ()+ 3 s i nx+ 3 ()= x+2 c o sx, f ( x)=1-2 s i nx.令 f ( x)=0, 得s i nx= 1 2 .因为x 0, 2 , 所以x= 6 .而f 6 ()= 6 + 2 c o s 6 = 6 + 3,f(0)=2,f 2 ()= 2 , 所以f(x) 的最小值为 2 , 最大值为 6 + 3.故选B. 1 2. A 【 解析】由g(x)=|f(x)|-1=0, 得|f(x
15、)|=1, 即函数y=|f(x)|与y=1的图像的交点有4个.由 |x 2-6 x+6 |=1, 得x=1或x=5或x=3- 2或x= 3+ 2; 由 1 2 () x+1 =1, 得x=- 1 .画出函数y=|f(x)| 与y=1的图像, 由图像分析得a-1或10, 所以Tnn-2.1 2分 1 8. ( 1) 证明: 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 因为A B C为直角, 所以A BB C, 又平面B C C1B1 平面A B C=B C, 所以A B平面B C C1B1.因为B1D 平面B C C1B1, 所以A BB1D. 2分 在矩形B C C1B1中, 因为D为C C1
16、的中点,B C=2, C C1=4, 所以B D2+B1D2=B B21, 所以B1DB D. 又因为A B,B D平面A B D,A BB D=B, 所以B1D平面A B D. 4分 又因为B1D平面A1B1D, 所以平面A1B1D平面A B D. 6分 ( 2) 解: 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 因为A1B1A B, 所以B A C就是异面直线A1B1与A C所成的角或其 补角. 因为A B C为直角,B C=2, 异面直线A1B1与A C所 成的角的正弦值是2 1 3 1 3 , 所以A B=3. 8分 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 点D到 平 面A B B1A1的 距 离 等 于 点C到 平 面 A B B1A1的距离,1 0分 则VB - A 1A D=VD - A B A1= 1 3 1 2 342=4, 所以三棱 锥B - A1AD的体积为4. 1 2分 1 9.解: (1) 样本的频率分布表如下
