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1、4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3 拉氏变换的基本性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型 4.6 系统函数（网络函数）H( s ) 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 4.9 二阶谐振系统的 s 平面分析 4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布 4.11 线性系统的稳定性 4.12 双边拉氏变换 4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析,4.1 引言,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：,（1）求解步骤得到简化
2、,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应,（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的 “乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；,（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；,（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念；,（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换,当 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换,1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广,（1）系统求解中的激励 、响应 的非零取值往往是从 时刻开
3、始的。,下限取 是为了把 、 等也包含到积分区间中。,（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。,若 绝对可积，则存在傅里叶变换,单边拉氏变换,双边拉氏变换,考虑在 上乘以收敛因子 。,在 上， 只有在 时才起收敛作用，且 越大，收敛效果越明显。,（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义,在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使求解过程简化。,（三）单边拉氏变换的收敛域,若存在 ，使得 时， 成立。,要使 的拉氏变
4、换存在，必须有,则 平面上 的区域称为 的收敛域。,（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号,（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号,，收敛域为整个 平面,，收敛域为 右半平面,（3）随时间 成正比增长或随 成正比增长的信号,必须有,（4）按指数阶规律 增长的信号,（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 ，不能进 行拉氏变换。,，收敛域为 右半平面,，收敛域为,（四）常用函数的拉氏变换,整个 平面,4.3 拉氏变换的基本性质,（一）线性,若,则,（二）时域微分特性,若,则,例1：,（三）时域积分特性,若,则,例：,例1：求 的 拉氏变换。,（四）延时特性（时域平移）,若
5、,则,（五）s 域平移,若,则,例：,（六）尺度变换,若,则,例3：书P255,4-19,例： 已知,（七）初值定理,（八）终值定理,应用条件：,的全部极点在 左半平面，允许在 处有一阶极点，以保证终值存在。,为真分式,应用条件：,否则,例2： ，求,（九）卷积定理,则,时域卷积定理,若,s 域卷积定理,（十）s 域微分与积分,若,则,例：,4.4 拉普拉斯逆变换, 部分分式展开法：,仅适用于 为有理分式情况, 围线积分法（留数法）：,严密的数学方法,部分分式展开法：,分子多项式也可以表示为 A(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中, z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的
6、根， 也称F(s)的零点。,部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干简单函数之和， 再分别对这些简单象函数求原函数。 ,p1, p2, , pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高于分子多项式(mn)， 但也有可能mn。 下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。 ,例1：,当 时，,一、,二、,（1） 所有极点均为一阶实极点,系数,例2：,（2） 一阶共轭极点,例3：,系数平衡法,3. mn, F(s)有重极点 设,其中, s=p1是F(s)的k阶极点, 由F(s)可展开为,式中, 是展开式中与极点p1无关的部分
7、。 , k11=(s-p1)kF(s)| s=p1 ,可求得：,例4：,例5：,二阶常系数线性微分方程的一般形式为,设f(t)是因果激励， 又已知初始条件y(0-), y(0-)， 可利用拉氏变换求解。 两边取拉氏变换， 利用单边拉氏变换的微分性质， 得到 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+a1sY(s)-y(0-)+a2Y(s) =b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F(s),（一）解微分方程,4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型,整理上式为 (s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y(0-)+a1y(0-),解：,微分方程两边同
8、时取单边拉氏变换,例2：,激励信号及起始条件分别为：,求零输入、零状态响应及全响应，自由响应，强迫响应，暂态响应，稳态响应。,解：,微分方程两边同时取单边拉氏变换,（二）实际电路系统的s域分析,s 域元件模型,P48例2-5：,例2: 电路如图所示， 激励为e(t)， 响应为i(t)， 求s域等效模型及响应的s域方程。, 解: s域等效模型（运算等效电路）如图所示:,列网孔方程:,解出,其中, Z(s)=Ls+R+1/Cs为s域等效阻抗。,例3 :电路如图, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V，iL(0-)=4 A， 求i1(t)。,例3电路的s域网络模型,例4 : 书P196，例
9、4-13；P202，例4-15，求uc(t),例5 : 自学书P202，例4-16,设描述LTI系统的 n 阶微分方程为：,（一）系统函数的定义,4.6 系统函数（网络函数）,若系统的起始状态为零，则 ，对上式两边同时取拉氏变换，得,系统函数,当 时，,系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。,（二）系统函数的涵义,策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,转移函数,转移阻抗,转移导纳,转移电压比,转移电流比,（三）系统函数的求法,（2）已知微分方程,例1：,(1) H(S),（3）已知电路原理图,是一个算子， 是变量s的函数。 只描述系统的零状态特性，而 既描述零状态特性，又描述零输入特性。
10、,例3：书P207，例4-18（自学）,（四）系统函数的应用,(1),(2),集总参数LTI系统的 为有理分式,零、极点图,4.7 , 4.8 , 4.9, 4.10,4.7,例：,零点,（二）H(s)零、极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应,系统函数,响应,激励,系统函数极点,激励信号极点,自由响应,强迫响应,什么是频率响应特性？,稳定系统在正弦信号激励下，稳态响应随信号频率的变化情况。,幅度随频率的变化情况 幅频响应特性,相位随频率的变化情况 相频响应特性,4.8,幅频响应特性,相频响应特性,例：,高通滤波器,低通滤波器,带通滤波器,带阻滤波器,通带,阻带,滤波特性的分类,4.9,极点位
11、于左半平面，零点位于右半平面，且零、极点对于 轴互为镜像。,（一）全通网络,幅频特性 ，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。,全通网络的零、极点分布？,全通网络用于相位校正。,4.10,例：图示格状网络，且有 ，求网络函数 ，判断 是否为全通网络。,解：,（二）最小相移网络,极点全部在左半平面，零点也全部在左半平面或 轴上的网络，称为最小相移网络；含有零点在右半平面的网络称为非最小相移网络。,非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。,非最小相移网络,最小相移网络,全通网络,4.11 线性系统的稳定性,若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称此系统为（BI
12、BO）稳定系统。,（一） 稳定性定义,连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,的收敛域包含虚轴,（二） 因果 LTI 系统的稳定性,的极点全部在左半平面,连续时间因果LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,系统稳定；, 由 的极点分布判断因果LTI 系统的稳定性：,（1）极点全部在左半平面,衰减，,系统临界稳定；,（2）虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面,等幅，,系统不稳定。,（3）有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点,增长，,解：,例: 如图所示线性反馈系统，讨论当常数 满足什么条件时系统 是稳定的？,的根全部在左半平面,、 、 不缺项且同号。,时系统稳定；,时系
13、统临界稳定；,时系统不稳定。,（一）双边拉氏变换及其收敛域,4.12 双边拉氏变换,例1：求 的拉氏变换。,解：,收敛域,例2：求 的拉氏变换。,解：,不存在,双边拉氏变换的收敛域有两个边界，一个是由 的函数决定的左边界 ；另一个是由 的函数决定的右边界 。 若 ，则双边拉氏变换存在，收敛域为 ； 若 ，则双边拉氏变换不存在。,（二）双边拉氏反变换,例： ，讨论收敛域及 的可能情况。,解：,拉氏变换的收敛域以极点为边界，且 在收敛域内是解析的，即收敛域内不可能含有任何极点。,（1）,（2）,（3）,（三）用双边拉氏变换分析电路,解：,4.13 拉氏变换与傅里叶变换的关系,若已知 时 ，如何由单边拉氏变换求得傅里叶变换？,（1）,是增长函数，不存在傅里叶变换。,（2）,是衰减函数，存在傅里叶变换。,例：,（3）,为等幅或增幅振荡，存在傅里叶变换（包含奇异函数项）。,（2）,（3）,作业,P250 4-1 (3), (4), (5), (6),(8), (10), (13),(14) ,(15) 4-3 (1), (3), (5) 4-4 (3), (4), (7), (9), (12), (15), (19) (选作：14,17) P252 4-11 P253 4-13 (a)， (b) P258 4-29 P263 4-45 P84 2-12 用LT方法求解本题(选作),
