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1、 同济六版高等数学课后答案高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的高等数学是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了高等数学第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。第一章习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(A
2、B)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1);. (2); (3);(4);(5); (6) y=tan(x+1);(7) y=arcsin(x-3); (8);. (9) y=ln(x+1); (10). 7. 下
3、列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 8. 设, 求, , , j(-2), 并作出函数y=j(x)的图形. . 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1), (-, 1); (2)y=x+ln x, (0, +). 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)
4、上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6) 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2);. (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin px; (4)y=xcos x; (5)y=sin2x.
5、14. 求下列函数的反函数: (1); (2);. (3)(ad-bc0); . (4) y=2sin3x; . (5) y=1+ln(x+2); (6). 15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2, u=sin x, , ; (2) y=sin u, u=2x, ,;. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2;. (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; (5) y=u
6、2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 17. 设f(x)的定义域D=0, 1, 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); . (2) f(sinx) (3) f(x+a)(a0);. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 18. 设, g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出这两个函数的图形. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 . . 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励
7、销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？习题1-2 1. 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势, 写出它们的极限: (1);. (2);. (3). (4);. (5) xn=n(-1)n. 2. 设数列xn的一般项. 问=? 求出N, 使当nN时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 3. 根据数列极限的定义证明: (1); (2);
8、 (3); (4). 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限. 5. 设数列xn有界, 又, 证明: . 6. 对于数列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); . (2); . (3); . (4). 2. 根据函数极限的定义证明: (1); (2). 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|X时, |y-1|104？ 4. 求下列极限并说明理由: (1); (2). 6. 函数y=xcos x在(-, +)内是否有界？这个函数是否为当x+ 时的无
9、穷大？为什么？ 7. 证明: 函数在区间(0, 1上无界, 但这函数不是当x0+时的无穷大. , 习题1-5 1. 计算下列极限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); . (11); (12); (13); (14); 2. 计算下列极限: (1); (2); (3). 3. 计算下列极限: (1); (2). . 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-7 1. 当x0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 2. 当x1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？ (2)因为, 3.
10、证明: 当x0时, 有: (1) arctan xx; (2). 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1); (2)(n, m为正整数); (3); (4). 5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) a a (自反性); (2) 若a b, 则ba(对称性); (3)若a b, bg, 则ag(传递性). 习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1); (2). 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1), x=1, x=2; (2), x=k, (k=0, 1, 2, ); (3), x=0; (4), x =1. 3. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 习题1-9 1. 求
