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1、22.2 二次函数与一元二次方程,【例题】以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2 （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？,导入新知,3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方
2、程与函数之间的联系.,2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.,素养目标,如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题：,二次函数与一元二次方程的关系,探究新知,问题1,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,15,1,3,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.,解：15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t
3、2=3.,你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？,探究新知,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？,20,4,20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2.,当球飞行2秒时，它的高度为20米.,h=20t-5t2,探究新知,解：,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?,20.5,解：20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 4.10, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5
4、米.,h=20t-5t2,探究新知,（4）球从飞出到落地要用多少时间？,0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.,当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.,即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.,h=20t-5t2,解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，,探究新知,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值且a0时，二次函数为一元二次方程.,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.,探究新知,二次函数与一元二次方程关系密切,例如，已知二次函数y = x24x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x2
5、4x+3=0）,反过来，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0，求自变量x的值,探究新知,已知二次函数中因变量的值，求自变量的值,解一元二次方程,探究新知,二次函数与一元二次方程的关系（1）,例1 已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.,二次函数与一元二次方程的关系,解之得：x1=-1，x2=2.5,探究新知,1. 二次函数y=x2-3x+2 ，当 x=1 时，y=
6、;当y=0时，x= .,2. 抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.,巩固练习,变式题,0,1或2,(0,-1),(0.5,0)和（-0.5,0）,利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况,【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.,探究新知,二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？,无公共点,先画出函数图象：,公共点的函数值为 .,0,对应一元二次方程的根是多少？
7、,x1 =-2，,x2 =1.,x1 =x2 =3.,方程无解,有两个不等的实根,有两个相等的实根,没有实数根,探究新知,由上述问题，你可以得到什么结论呢？,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.,探究新知,有两个不等实根 有两个相等实根 没有根,有两个交点 有一个交点 没有交点, 0, = 0, 0,一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根,抛物线 y=ax2+bx+c与x轴,若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则,b2 4ac 0,= b2 4ac,探究新知,二次函数与一元二次方程的关
8、系（2）,0,=0,0,o,x,y, = b2 4ac,y=ax2+bx+c,那么a0时呢？,a0,探究新知,观察图象，完成下表：,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,3,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1,探究新知,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系,探究新知,例2 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证：此
9、抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,解：(1)证明：m0， -(m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20， 0，因此抛物线与x轴总有两个交点；,利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）,（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2= .当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时，=0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.,探究新知,已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ,巩固练习,变式题3,k-1且k0,
10、例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？,二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用,探究新知,解： 由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.,（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？,探究新知,（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距
11、离是多少？,由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.,探究新知,由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.,（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,探究新知,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.,探究新知,如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状， 可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所 示的直角坐标系中，求水流的落地点D到 A的距离是多少？,解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
12、 答：水流的落地点D到A的距离是5m.,分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离. 即y=0 .,巩固练习,变式题3,求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.,分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.,利用二次函数求一元二次方程的近似解,探究新知,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,探究新知,求一元二次方程 的根
13、的近似值（精确到0.1）.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.,探究新知,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图
14、象与x轴的交点的横坐标；,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,探究新知,一元二次方程的图象解法,根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,巩固练习,变式题4,（2018中考）二次函数y=ax2+b
15、x+c（a0）的图象如图所示，下列结论正确是（）,Aabc0 B2a+b0 C3a+c0 Dax2+bx+c3=0有两个不相等的实数根,解析：抛物线开口方向得a0，由抛物线对称轴为直线x= ，得到b0，由抛物线与y轴的交点位置得到c0，A.abc0，错误；B.2a+b0，错误；C.3a+c0，正确；D. ax2+bx+c3=0无实数根，错误.,巩固练习,C,1.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为() Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5 Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,解析：由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x
16、1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则 1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.,B,课堂检测,基础巩固题,2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；,-1,3. 一元二次方程 3x2+x10=0的两个根是x1=2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2，0) ( ，0),课堂检测,基础巩固题,4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,课堂检测,基础巩固题,5. 二次函数y
