《高考数学热点难点全面突破专题-向量的性质及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学热点难点全面突破专题-向量的性质及其应用（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量的性质及其应用专题点拨1 能灵活运用两个重要结论解决问题：(1)(D是BC中点).(2)已知点 不共线，且，则点共线的充要条件是.2运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则.3会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题.4能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解.真题赏析1.（2019杨浦区二模）若ABC的内角A、B、C,其中G为ABC的重心,且GAGB=0,则cosC的最小值为_【答案】45【解析】解：因为G为ABC的重心,所以AG=2312(AB+AC)=13(2AC-BC)；BG=13(BC+BA)=13(2BC-AC),因为GA
2、GB=0,所以AGBG=0,即19(2AC-BC)(2BC-AC)=0,整理得5ACBC-2AC2-2BC2=0,所以5|AC|BC|cosC=2(|AC|2+|BC|2)4|AC|BC|,所以cosC45,故答案为452.（2019浦东新区二模）已知正方形ABCD边长为8,BE=EC,DF=3FA,若在正方形边上恰有6个不同的点P,使PEPF=,则的取值范围为_【答案】(-1,8)【解析】解：以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：如图,则F(0,2),E(8,4)(1)若P在AB上,设P(x,0),0x8PF=(-x,2),PE=(8-x,4)PEPF=x2-8x
3、+8,x0,8,-8PEPF8,当=-8时有一解,当-88时有两解；(2)若P在AD上,设P(0,y),0y8,PF=(0,2-y),PE=(8,4-y)PEPF=(2-y)(4-y)=y2-6y+80y8,-1PEPF24当=-1或824时有唯一解；当-18时有两解(3)若P在DC上,设P(x,8),0x8PF-=(-x,-6),PE=(8-x,-4),PEPF=x2-8x+24,0x8,8PEPF24,当=8时有一解,当824时有两解(4)若P在BC上,设P(8,y),0y8,PF=(-8,2-y),PE=(0,4-y),PEPF=(2-y)(4-y)=y2-6y+80y8,-1PEPF2
4、4,当=-1或824时有一解,当-18时有两解综上,在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P,使得PEPF=成立,那么的取值范围是(-1,8)故答案为：(-1,8)例题剖析【例1】在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若与的夹角记为，其中，2，3，4，且，则的最大值为【答案】【解析】由向量的投影的几何意义有：的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在向量方向上的投影最大，且为，故答案为：【变式训练1】若正方形ABCD的边长为1，点P是对角线AC上的一个动点，则的取值范围是 _【答案】【解析】以点A与坐标原点O重合,AB在轴正半轴上建立直角坐标系，则得.可
5、设，于是，.由的图像可得，.因此，.【例2】已知平面向量、满足条件：，若向量且，则的最小值为【答案】【解析】由题意可设，且设，则，即， 在以为圆心，以为半径的圆上，故答案为：【变式训练2】已知向量，且，若向量满足，则的最大值为【答案】【解析】，令，则，点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则，点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，最大值为，即最大值为故答案为：【例3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、， ，则 【答案】【解析】欲得到，可用与已知等式作数量积，即，结合投影的几何意义，有(过O作，则D是AC中点)将数值代入化简，得.将用表示，可得.【变式训练3】 已知圆心为、半径为的圆
6、上有三点、若，则_【答案】【解析】方法一 两边平方，得. 因此，.方法二 分析 设.分别用与作数量积，可得巩固训练1、 填空题1. 已知点，设、是圆上的两个不同的动点，且向量（其中为实数），则 【答案】3【解析】由向量（其中为实数），可得：，三点共线，且，同向，设圆与轴正半轴交于点，由圆的割线定理可得，故答案为：32.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为 【答案】2【解析】，半圆的直径，是等边三角形，且边长为2，由题意可得，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，此时故答案为：23.已知圆，圆直线、分别过圆心、，且与圆相交于
7、，两点，与圆相交于，两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为 【答案】3【解析】由题意可得，为椭圆上的点，由题意可知，故答案为：84. 已知平面向量、满足，且，则当时，的取值范围是【答案】【解析】设，则，又，即故答案为：，5.已知、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是【答案】【解析】如图所示，取，不妨设，当且仅当，即时，上式取得最小值即的最小值是故答案为：6.已知中，是内一点，使得，设垂直于，垂直于，则【答案】【解析】以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，在中，由，得，设，则，由，得，即设，则，由，得，而，故答案为：二、选择题7设表示平面向量，都是小于9的正整数，且满足，
8、则和的夹角大小为ABCD【答案】C【解析】由，得：，由，又因为，都是小于9的正整数，则，又，所以，所以，又，所以，故选：8在平面直角坐标系中，已知向量，是坐标原点，是曲线上的动点，则的取值范围A，BCD【答案】A【解析】去绝对值整理后知，曲线为菱形，易知，故当点在曲线上运动时，在上的射影必在上，且当在上时得到最大值，在上时得到最小值，最大值为，最小值为，故选：9已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为A，B，CD【答案】A【解析】设则由可得，令，故选：三、解答题10.已知点是的中线上任意一点，且，实数满足： .记， 若乘积取最大值时，求此时的值.【解析】设，则结合图形，可算得，于是，当时，等号成立因此，乘积取最大值时，点P是EF的中点所以，代入，得又不平行，所以， 所求11.已知为坐标原点，向量，（1）求证：；（2）若是等腰三角形，求的值【解析】（1），（2）若是等腰三角形，则，整理得：，解得，或，12.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（1）若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围【解析】（1），（2），
