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1、读万卷书行万里路1.设U(町是离散时间平穗勒I过程，证明其功率谱S(w)n0证明：将u(“)通过冲激响应为h(“)的LT1离散时间系统，设其频率响应H(w)为1, w-w0 Aw输出随机过程y()的功率谱为Sy (w)=|/(w)p S(w)输出随机过程y(”)的平均功率为rr (0)=三广 (”，)曲= 匸二S(w)dw 当频率宽度Aw 0时，上式可表示为r,.(0)=s(wo)w)n0由于频率w是任意的，所以有S(w)03、已知：状态方程班)=F(，“ - IM 一 1)+(，“ -州何观测方程z何=C(n)x(n) + v2(n)Eyxii)v (n) = Q () v2(n)v/ (w
2、) = Q2(n)滤波初值五(0|仏)=昭(0) P(0) = Ex(O)- Ex(O)x(O) - Ex(O)H请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步篥解：步骤1状态一步预测，即；51知)=弘,“少(_1|知疋严步骤2由观测倍号z(n)计算新息过程，即a(“) = z(n) - z(n _) = z(n) - C(w)x(w |e Cu*步骤3 步预测误差口相关矩阵P(n,n 1) = Fnn 1)P(? 1)F (zz, w 1)+1)(?. (n 一 1)厂(w,h- 1) e Cn步骤4新息过程自相关矩阵*)= Cgpgi - 1)C (“)+ 02() e C“M步骤 5 卡尔曼
3、增益K5) = P(,“-1)C()”(“)g或 K(“) = P(“)C5)Q()步骤6状态估计珈I札)=双IQ + K()a(“)e C步骤7状态估计自相关矩阵P() = /-K()C()P(,“-l)wC、或 P(n) = I-K()C()P(“, h - 1)Z - K(“)C(“) + K 何 Q2(n)K H (n)步骤8重复步骤l7,进行递推滤波计算4、经典谱估计方法：直接法：又称为周期图法，它把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能呈有限的序列，直 接计算x(n)的离散傅里叶变换，得到X(k),然后再取其幅值的平方，并除以N,作为序列 x(n)的真实功奉普估计口相关法：1949
4、年，Tukcy根据Wicncr-Khinlchine定理提出了对有限长数据进行谱估计 的口相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该口相关函数球傅立叶变换，从而 得到谱的估计。1958年，Blackman和Tukcy在岀版的自关经典谱估计的专著中讨论了口 相关谱估计法，所以口相关法又叫BT法。5、假定输入信号約是一个事均值的高期白噪声，其功率谱为巴(/) = N。，且经性系统的冲澈响应为如)I O,else求输出y(tH(t)F的功率谱及协方差函数. 解：由題知，系统的传递函数为H(f) = J Kty-dt = J e-edt =11+J2#有此得H(ff1 + 721-j2 =1 +
5、4龙丁2Y0由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系.得1 + 4/2输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换.故有CyM=px(nerdf= j询爸昇伽=守尹1 6、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤答：(1)相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方 法，來对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。(2)此方法的具体步骤是： 给出观察序列班0),班1),x(N -1),估计出口相关函数:_ 1R(m) = x()x( + /w)D-N + lGN-lN n=0对口相关函数在(-M. M)内作Fourier变换，得到功率谱:.AfS(e)
6、=工斤(加肱加片如 m=-.W式中，一般取锁加)为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的維纳一辛欣定理的主要内容. 答：(1)连续时间佶号相应的维纳一辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其口相关函数满足如下关系：So) =Rx(r)e-Jlordr = F(r) 尺3 = _ SSJO，TdcD(2)离散时间信号相应的维纳一辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其口相关函数满足如F关系：S“”) = X5厂 Rx(m)=丄 fT S3才如=-x2”J_T8、举例说明卡尔曼滤波的应用场以答：假设要研
7、究的对線是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也 就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度(假设用一分钟來做时间单位。假设经验不 是100%的可信，可能会有上下偏差儿度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声(While Gaussian Noise),也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution).另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测虽值会 比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值(系统的预测值) 和温度计的值(测虽值)。下面我们用这两
8、个值结合他们各口的噪声來估算出房间的实际温 度值。假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先要根据kl时刻的温度值，來预测k时刻的 温度。因为假定温度是恒定的，所以k时刻的温度预测值是跟kl时刻一样的，假设是23 度,同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的：如果kl时刻估算出的最优温 度值的偏差是3,预测的不确定度是4度，二者平方相加再开方，就是5。然后，从温度 计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值.分别是23度和25度。究竞相信谁多 一点，我们可以用他们的covariance來判断。因为KgA2=5A2/(5A2
9、+4A2),所以Kg=0.78,我 们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出.因为温度计 的covariance比较小(比较相信温度计)，所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到k时刻的最优温度值，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。 在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值(24.56度)的偏差。算法如下： (lKg)*5A2)P5=2.35这里的5就是上面的k时刻预测的那个23度温度值的偏差，得出 的235就是进入k+l时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差(对应于上面的3)。9、离散时间信号$()是阶的AR
10、过程，其相关函数人伙)=卅，。1,两观测数据为班)()+咻)，其中心)和咻)不相关，且呛)是一个均值是0,方差为 穴的白噪声，设计维纳涛波器H(z).M：由題意，可写出维纳霍夫方程： 作(0)心辽 心(0)丿1呗)丿代心丿 由于s()和W)不相关，故Rx(k) = RSky + k) = +a(k)R(k) = Es()x(-) = E s(n)5(nA:) + v(nA:) = Es(刀)s(”一) = R(k)因此有心伙)=人伙)=砂，代入得:a卜叫11 + b丿1呗)丿I丿解方程得:M0) =(l + a；)2-a2呎1)=(l + a；)2-a2所以，维纳滤波器的传递函数)= h0)
11、+ m1)z-其中呎0)和呗)由上式给出。11、如图(a)所示系统，其中e(t) = 迥，系统中理赫带追滤波器的频率响应如图(b)所 2皿求，其相频特性(p(o) = 0,请分别画出y(t)和r的频谱图，并注明坐标值。1.1 . L丄1X-1001-9999991001coslOOOtH32R答案：)(0的频IS图沖:1 1Y(jw)1 .I3丁1000-2 n -1000*2 n IOOO-2 n1000*2 k= 32 B0m=0取加=0,1,2,可得到如下矩阵方程:疋(0)乩&(p) 1 (7心心(0).心(P-1)叭=0A(p)心(P-1) &(0).%0在实际计算中，已知长度为N的序
12、列班“)，可以估计其自相关函数Rx(m),再利用以上 矩阵方程，直接求出参数(pg,.-%及bh于是可求出x(“)的功率谱的估计值。13、已知信号模型为s (n) =s(n-l)+、v(n).测童模型为x(n)=s(n)+v(n)虎運(n)和v(n)都是 均值为零的白噪声，其方養分别为0.5和1, v(n)与s(n)和個n)祁不相关。现设计一因果 IIR蜒銷滤波密处趣x(n),以得到对s(n)的星佳估计.求该滤波譽的传输函敷和差分方程.解：根据倍号模型和测虽模型方程可看出下列参数值：a=l, c=l, 0=0.5, R=l将它们代 入 Ricatti 方程 Q=P-a2RP/(R+c2P)得
13、0.5=P-P/(RP)解此方程得P=1或P二0.5,取正解P=l再计算维纳增益 G 和参数 f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2p)=1/(+1)=0.5故得因果HR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下：Hc(z)=G/(l -fz-l)=0.5/(l -0.5z-l)AAS (n) =0.5 (n-l)+0.5x(n)14、简述AR模型功率谱估计步瓠步Hl,根据N点的观测数据Un (n)估计自相关函数，得九(刃)，m=0,l,2，,p,即a jV-1九(加)=(n 一 m)N n=0步512,用p+1个口相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按
14、阶数递推的方法(如Levinson-Durbin算法)，求解Yule-Walker方程式，得到p阶AR模型参数的估计值Q1,Q2,.Q“ 科 * P步理3,将上述参数代入AR (p)的功率表达式中，得到功率谱估计S.4/?(W),即S“（w） =|1 +玄宀|2时，时间平均和统计平均趋于一致。2. 在倍号检测常用的四种准则中.（Ba、es量小风险准则）主要是考虑发生错误给判决 造成的代价垠小，因此该准则必须盂要知道（先验祜）和（代价函数）这两个应用 条件。3. Cramer-Rao不等式是用于描述估计虽有效性下限的重要公式，对一个估计址进行估计Jp =EFisher信息址的数学表达式（4. -般采用（协方差函数或者自相
