材料力学第05章(弯曲应力)

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1、,第五章 弯曲应力,材料力学,51 纯弯曲 52 纯弯曲时的正应力 53 横力弯曲时的正应力 54 弯曲切应力 56 提高弯曲强度的措施,第五章 弯曲应力,剪力FS,弯矩M,51 纯弯曲,M,FS,纯弯曲: FS =0 ， M0,正应力s,切应力t,横力弯曲： FS 0， M0,AB段纯弯曲(Pure Bending):,纵向对称面,F1,F2,平面弯曲,52 纯弯曲时的正应力,一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(mn、mn）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，横向线与纵向线变形后仍正交。,变形几何规律：,横截面变形后仍为平面。,2.平面假设：,b,n,a,m,

2、a,b,n,m,设想梁由无数根平行于轴线的纵向纤维组成，变形后，上部纤维缩短，下部纤维伸长。,有一层纤维变形后不伸长也不缩短。,3.两个概念,中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,2020/7/6,9,（一）变形几何关系：,建立坐标系,变形前：,变形后：,伸长量：,线应变：,中性层,（二）物理关系：,假设：纵向纤维无挤压。,式中：E和为常数，所以横截面上正应力与 y 成正比。,（三）静力关系：,横截面上的正应力组成一个空间平行力系，可以简化后得到三个内力分量：,由（1）式,（平面弯曲，Iyz=0）,由（2）式,由（3）式,53 横力弯曲时的

3、正应力,对于横力弯曲，当 5 时，按纯弯曲时的公式计算正应力，误差不超过1%。,一、横力弯曲时的正应力,二、最大正应力：,Wz称为抗弯截面系数,矩形：,抗弯截面系数：,空心圆：,实心圆：,三、梁的正应力强度条件,塑性材料,脆性材料,例1,F,A,B,l,图示起重机大梁，Q235钢，=170MPa，小车和重物重量F=265kN，l=4m， 求：1）设计h/b=1.5的矩形截面梁； 2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。,解：(1)当小车在跨中时梁最危险。,求支座反力,画弯矩图。,(2)矩形截面梁,(3)工字形截面梁,查表，选择No.45c工字钢,(4)比较耗材,工字钢耗材是矩形截面梁

4、的三分之一。,受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：梁内的最大正应力；,例2,解：,例3,支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理。,解：,考虑两种极限情况,a=0 和 a=1.5m,q=60kN/m,l=3m,a,a,A,B,C,舍去负值,q=60kN/m,a,a,A,B,C,铸铁梁，受力如图，铸铁的t=20MPa，c=60 MPa，试根据危险截面k-k的强度，确定最大载荷P。,(2)求危险截面上的弯矩,例4,解：(1)求形心位置和惯性矩,10,10,10,180,285,C,yc,y,z,z1,(4)压应力强度,(3)拉应力强度,10,10,10,180,285,C,yc,y,z,z1,允许

5、的最大载荷F14.4kN,T 字形截面的铸铁梁，受力如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。,解：(1)求支座反力,例5,（2）画弯矩图找危险截面,B截面弯矩最大，是危险截面,(2)B截面的强度,负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压,t,c,(3)C截面的强度,正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压,t,c,+,-,+,-,梁安全,讨论：若将T字形梁倒置，梁是否安全？,B截面的拉应力：,梁的强度不够。,T 字形截面铸铁梁，梁长为l，受活动载荷，如图，已知许用拉应力与许用压应力之比t:c=1:4，y1:y2=1

6、:5，试确定合理的 a 值。,例6,解：,正弯矩：拉应力控制强度,负弯矩：压应力控制强度,t:c=1:4，y1:y2=1:5,正弯矩：拉应力控制强度,负弯矩：压应力控制强度,t:c=1:4，,54 弯曲切应力,一、 矩形截面梁,1、切应力的两点假设：,54 弯曲切应力,（2）切应力沿宽度均匀分布。,（1）切应力与剪力Fs平行；,h,b,2、研究方法：分离体平衡,（1）在梁上取微段,2、研究方法：分离体平衡,M,M+dM,（1）在梁上取微段,（2）在微段上再切取一部分求平衡,1,由切应力互等定理,当 y=0 时，,、切应力分布规律,t方向：与横截面上剪力方向一致； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿

7、高度h分布为抛物线。 最大切应力为平均切应力的1.5倍。,当 y=0 时，,矩形截面弯曲切应力分布规律：,分为腹板和翼板：,翼板上除了有平行于FS的切应力分量外，还有水平分量。,腹板为狭长矩形，可以采用前述的两个假设。采用相同的推导，得到切应力公式：,二、 工字形截面梁,y,FS,y=0时，,此时腹板上的切应力可以看成近似的均匀分布。,A腹 腹板的面积。,即：腹板承受了95%97%的剪力,又因为tmax tmin,y,FS,计算腹板上切应力的合力：,对工字形型钢，切应力由下式计算：,三、 T字形截面梁,y,z,y,FS,在梁的横截面上，最大正应力发生梁截面的上下边缘，最大切应力发生在截面的中性

8、轴处。,三、切应力强度条件,切应力强度条件：,细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，只有在下述情况下，需要进行梁的弯曲切应力强度校核：,（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度较薄，要校核腹板的切应力。,（1）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的M较小，而FS较大时。,（3）经铆接、焊接或胶合而成的梁，应对焊缝、铆钉、胶合面进行切应力校核。,矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图， =7MPa，=0. 9 M Pa，校核梁的强度。,例7,解：,（2）校核强度,梁安全！,(1)画内力图找危险截面,例8,已知：q =407kN/m， =190MPa， =130 MPa，校核梁的强

9、度。,解：（1）求形心位置和惯性矩,（2）画内力图,（3）弯曲正应力强度,FS,（4）弯曲切应力强度,梁安全,例9,已知：F=30kN，l=5m，大梁由20a工字钢制成，=170MPa，=100 MPa，校核梁的强度。,解：（1）弯曲正应力强度,小车在跨中时，梁内弯矩最大，,（2）弯曲切应力强度,小车在支座附近时，梁内剪力最大，,梁安全！,例10,10,已知：F=50kN，大梁由20a工字钢制成，用12010mm的钢板加强，=152MPa，=95 MPa，校核梁的强度。,解：（1）跨中弯曲正应力强度,（2）D截面弯曲正应力强度,小车在D截面时,（2）D截面弯曲正应力强度,强度不够，钢板需加长。

10、,（3）弯曲切应力强度,小车在支座附近时，梁内剪力最大，,梁切应力强度足够！,例11,已知： Me =40kNm，q=20kN/m，=170MPa，=100 MPa，试选择工字钢型号。,FA,A,B,4m,2m,q,1m,FB,Me,FA,A,B,4m,2m,q,1m,FB,Me,解：,画 FS 、M 图,（1）弯曲正应力强度,查表，选择No.20a工字钢，Wz=237cm3,FA,A,B,4m,2m,q,1m,FB,Me,（2）弯曲切应力强度,梁切应力强度足够！,选择No.20a工字钢。,注意：先按正应力强度选择型号，再校核切应力强度。,例12,已知：前轴重F1=10kN，后轴重F2=50k

11、N，l=10m，大梁由两根工字钢制成，=160MPa，=100 MPa，试选择工字钢型号。,解：（1）弯曲正应力强度,设小车在距左端 x 距离,查表，选择No.28a工字钢两根，Wz=508cm3,（2）弯曲切应力强度,小车在距左端 x 距离时,当 x=8时，,梁切应力强度足够！,（1）合理安排梁的受力情况,56 提高弯曲强度的措施,在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面,（2）合理选取截面形状,根据材料特性选择截面形状：,对于抗拉、压能力不同的材料(如铸铁、混凝土等脆性材料)，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用材料抗拉能力差、抗压能力好的特性。,（3）等强度梁,考虑弯曲切应力强度，则梁高的最小值为：,蔡甸汉江公路大桥,110m+180m+110m预应力混凝土连续刚构桥,内蒙古磴口黄河大桥,本章结束,