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1、,第七章 应力和应变分析 强度理论,材料力学,第七章 应力和应变分析 强度理论,71 应力状态概述 72 二向和三向应力状态的实例 73 二向应力状态分析解析法,74 二向应力状态分析图解法,75 三向应力状态分析,78 广义胡克定律,79 复杂应力状态的应变能密度,710 强度理论概述,711 四种常用 强度理论,问题的提出,一、什么是一点处的应力状态？,71 应力状态概述,应力,与点的位置有关,与作用面的方位有关,过一点有无数个不同方位的截面。,一、什么是一点处的应力状态？,71 应力状态概述,一点处不同方位截面上应力的集合，称为这点的应力状态。,二、一点处应力状态的表示方法：,单元体构件
2、内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。,应力单元体是一点受力状态的完整表示。,（1）单元体,单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等，面上的应力值即为该点所对应截面方位的应力大小。,一点有六个独立的应力分量,（2）应力分量,三、为什么要研究一点处的应力状态,p,F,F,y云纹图,x云纹图,xy云纹图,r云纹图,F,F,y云纹图,x云纹图,r云纹图,四、主平面、主应力：,（1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,（2）主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,任意一点都可以找到三个相
3、互垂直的主平面。,s1,s2,s3,1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,2、二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。,3、三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,五、应力状态分类,例1画出图中的A点的应力单元体。,72 二向和三向应力状态的实例,例2,画出图中A点的应力单元体。,t,t,例3,画出图中各点的应力单元体。,如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为 p，容器直径D，壁厚
4、。,例4,用横截面将容器截开，,受力如图所示,根据平衡方程,73 二向应力状态分析解析法,平面应力状态:,单元体有一对平面上的应力为零。,一、任意斜截面上的应力,二、最大正应力和最小正应力,三、主平面和主应力,四、应力圆（莫尔圆）,一、任意斜截面上的应力,求： 、 ,、,解：设斜截面面积为dA，,由平衡得：,由tyx=txy和三角变换，得：,同理：,(1)正应力拉为正；,正负号规定：,(2)切应力绕研究对象顺时针转为正；,(3)a逆时针为正。,求斜截面上的应力，单位MPa,例4,20,x,50,30,30,解：,例5,已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。,例5,已知：F=
5、180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。,解：,二、最大正应力和最小正应力,二、最大正应力和最小正应力,得：,smin,smax,smax,smin,切应力箭头所指象限就是最大正应力所在象限。,令 =0 ， 可得主平面的方位：,即：主应力就是最大或最小的正应力。,由,得,三、主平面和主应力,smin,smax,s1=smax,s2=smin,s1=,s2=,例5,求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa,解：,在单元体上画出主平面和主应力,s1,s1,s3,s3,切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。,分析受扭构件的应力状态。,解:(1)单元体如图所示,
6、(2)主应力,例6,(2)主平面所在方位,铸铁扭转破坏 断口分析,求C截面左侧 a、b两点的主应力及主平面。,例7 ,解：,例8 ,求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。,例8 ,求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。,解：,对上述方程消去参数（2），得到曲线的表达式：,（1）应力圆（ Stress Circle）,74 二向应力状态分析图解法,两边相加得：,此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,与圆方程相比较：,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,
7、（2）应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与s 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,（3）单元体与应力圆的对应关系,点面对应，转向相同，转角两倍。,x,（4）在应力圆上标出主应力,求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),解：,3、连接A、B两点，与s轴的交点C便是圆心;,2、在坐标系内画出点,例9 ,1、应力坐标系如图,4、以C为圆心，以AC为半径画圆得应力圆。,5、应力圆与s轴的交点便是主应力，,6、从应力圆上可得s3与x轴的夹角为：,根据比例量得主应力的大小：,用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa),解：,
8、例10 ,30,用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa),解：,例11 ,30,梁的主应力及其主应力迹线,s3,s1,5,主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,红实线表示拉主应力迹线； 蓝虚线表示压主应力迹线。,x,y,主应力迹线的画法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,1、空间应力状态,75 三向应力状态分析,2、三向应力分析,2、三向应力分析,一点的最大切应力为：,一点的最大正应力为：,斜面上的应力 在三向应力圆的阴影内,
9、三向应力圆是一点处所有各个不同方位截面上应力的集合。,求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,由单元体图知：y z面为主面,50,40,30,解：,例11,求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,由单元体图知：y z面为主面,50,40,30,A,B,C,解：,例11,78 广义胡克定律,一、一点的变形(线应变和角应变),x,y,z,设单元体的三个边长分别为lx、ly、lz,受力后三个边长分别伸长x、y、z,线应变,角应变,二、单向拉（压）时的胡克定律,三、纯剪的应力-应变关系,四、复杂应力状态下的应力 应变关系,依叠加原理,得:,上式称为广义胡克定律,sz,sy,sx,上式称为广
10、义胡克定律,主应力 - 主应变关系,对于平面应力状态问题：,刘题7.27P259,已知：E=200GPa, =0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量lAC,刘题7.27 P259,已知：E=200GPa, =0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量lAC（AC=50mm）,解：,例13,已知：E=200GPa， =0.3，F=3kN，m=12Nm，d=10mm，求A点图示方向的线应变。,解：,图示28a工字钢梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa， =0.3，在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成45方向的线应变为 =2.6104，求载荷F的大小。,例14,解：,例13,已知：E=200GPa,=0.3,d=20mm, 45=3.0104， 45=5.0104，求F和Me的大小。,45,五、实验应力分析,A,A,直角应变花,A,A,体积应变：,展开并 忽略高阶微量,六、体积应变,体积应变与应力分量间的关系:,代入（1）式，得,由：,应力状态分解：,体积改变，形状不变,体积不变，形状改变,79 复杂应力状态的应变能密度,一、单向应力状态下的应变能,应变能密度：,杆件的变形能：,二、复杂应力状态下的应变能密度：,由广义胡克定律,代入上式得：,体积改变能密度vv,畸变能密度vd,体积改变能密度,畸变能密度,
