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1、第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用第1节 导数的概念1.1 导数概念的引入1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程与运动时间的函数关系式记为，求在时刻时质点的瞬时速度为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的设质点从时刻改变到时刻，在时间增量内，质点经过的路程为，在时间内的平均速度为
2、，当时间增量越小时，平均速度越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，的极限就是质点在时刻时的瞬时速度，即1.1.2 平面曲线的切线斜率问题已知曲线，求曲线上点处的切线斜率欲求曲线上点的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限图2-1如图2-1所示，取曲线上另外一点，则割线的斜率为当点沿曲线趋于时，即当时，的极限位置就是曲线在点的切线，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限在自然
3、科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质导数1.2 导数的概念1.2.1 函数在一点处的导数定义1 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处取得增量，且时，函数取得相应的增量，如果极限存在，那么称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数，记作，即注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式；（2）若极限不存在，则称函数在点不可导特别地，若，也可称函数在点的导数为无穷大，此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线例1 设，求解 根据导数的等
4、价定义，可得例2 设，求下列极限：（1）； （2）解（1）（2）1.2.2 单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义定义2 （1）设函数在点的某左邻域内有定义，当自变量在点左侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的左导数，记为，即（2）设函数在点的某右邻域内有定义，当自变量在点右侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的右导数，记为，即 由极限存在的充要条件可得函数在点可导的充要条件如下：定理1 函数在点可导和存在且相等例3 研究函数在点的可导性解 因为，所以，从而，因此在点不可导1.2.3 导函数定义3 （1）若函数在区间内
5、每一点均可导，则称在区间内可导；（2）若函数在区间内可导，在区间左端点的右导数和区间右端点的左导数均存在，则称在闭区间上可导定义4 若函数在区间（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的，都对应着一个导数值，其是自变量的新函数，则称为在区间上的导函数，记作，即或注：（1）在导函数的定义式中，虽然可以取区间上的任意值，但在求极限的过程中，是常数，和是变量（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数显然函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即下面利用导数的定义求一些简单函数的导数例4 求常值函数（为常数）的导数解 即得常值函数的导数公式：例5求正
6、弦函数的导数解 即得正弦函数的导数公式：类似可得余弦函数的导数公式：例6求指数函数的导数解 由于当时，所以即得指数函数的导数公式：特别地，例7 求对数函数的导数解 即得对数函数的导数公式：特别地，例8 求幂函数的导数解 ，因为当时，从而，故即得幂函数的导数公式：1.3 导数的几何意义函数在点可导时，导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率（图2-1）由此可得，曲线在处的切线方程为若，可得切线的倾斜角为或，此时切线方程为当时，曲线在处的法线方程为若，则法线方程为例9 求函数在点处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程解 根据导数的几何意义，函数在点处的切线的斜率为从而所求的切线方程为，即所求
7、法线的斜率为，从而所求的法线的方程为，即1.4 函数可导性与连续性的关系定理2 如果函数在点处可导，那么在点处连续证明 因为在点处可导，即，其中，所以根据连续的定义可知在点处连续注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导例10 讨论函数在点处的连续性与可导性解 因为，所以在点处连续又因为不存在，所以在点处不可导例11 讨论函数在点处的连续性与可导性解 因为，所以在点处不连续，从而在点处不可导例12 设函数在点处可导，求解 由于在点处可导，所以在点处必连续，即因为，所以可得又因为，要使在点处可导，则应有，即所以，如果在点处可导，则有习
8、题2-11. 已知物体的运动规律为，求：（1）物体在到这一时间段的平均速度；（2）物体在时的瞬时速度2. 设，按定义求.3. 设存在，指出下列极限各表示什么？（1）； （2）；（3）（设且存在）.4. 设函数在点处连续，且，求.5. 已知函数，求和，判定是否存在？6. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.7. 试讨论函数在处的连续性与可导性.8. 设函数在处可导，求的值.第2节 函数的求导法则在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导数但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解，难度比较大因此本节将介绍几种常用的求导法则，利用这些法则和基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数2.1
9、 导数的四则运算法则定理1 如果函数和都在点处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点处可导，且（1）（2）特别地，（为常数）（3）特别地，证明（1） （2） ，由于在点处可导，从而其在点处连续，故（3）先考虑特殊情况当时，由于在点处可导，从而其在点处连续，故因此，函数在点处可导，且于是注：（1）法则（1）可以推广到有限个可导函数的和与差的求导如（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导如例1 设，求解 例2 设，求解 例3 设，求解 例4 设，求解 例5 设，求解 即得正切函数的导数公式：类似可得余切函数的导数公式：例6 设，求解 即得正割函数的导数公式：类似可得余割函数的
10、导数公式：2.2 反函数的求导法则定理2 如果函数在区间内单调、可导且，那么它的反函数在区间内也可导，且 或 换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数证明 由于在区间内单调、可导（必连续），从而可知的反函数存在，且在区间内也单调、连续取，给以增量，由的单调性可知，于是有，由于连续，所以，从而例7 设，求解 因为的反函数在区间内单调可导，且又因为在内有，所以在对应区间内有即得到反正弦函数的导数公式：类似可得反余弦函数的导数公式：例8 设，求解 因为的反函数在区间内单调可导，且，所以在对应区间内有即得反正切函数的导数公式：类似可得反余切函数的导数公式：2.3 复合函数的求导法则定理3 如果函
11、数在点可导，函数在相应点可导，那么复合函数在点可导，且其导数为 或 证明 因为在点可导，所以存在，于是根据极限与无穷小的关系可得，其中是时的无穷小由于上式中，在其两边同乘，可得，用除上式两边，可得，于是根据函数在某点可导必在该点连续可知，当时，从而可得又因为在点可导，所以，故如果，规定，那么，此时仍成立，从而仍有注：（1）表示复合函数对自变量求导，而则表示函数对中间变量求导（2）定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数例如，设可导函数构成复合函数，则例9 设，求解 因为由复合而成，所以例10 设，求解 因为由复合而成，所以从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，
12、故形象地称其为链式法则当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可例11 设，求解 例12 设，求解 例13 设（为常数），求解 例14 设，求解 因为，所以，当时，；当时，综上可得例15 设可导，求的导数解 2.4 高阶导数变速直线运动的质点的路程函数为，则速度，加速度，从而这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数的概念一般地，可给出如下定义：定义1 若函数的导数在点可导，则称在点的导数为函数在点的二阶导数，记作，即这时也称在点二阶可导若函数在区间上每一点都二阶可导，则称它在区间上二阶可导，并称为在区间上的二阶导函数，简称为二阶导
13、数如果函数的二阶导数仍可导，那么可定义三阶导数：，记作以此类推，如果函数的阶导数仍可导，那么可定义阶导数：，记作习惯上，称为的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数有时也把函数本身称为的零阶导数，即注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以前面学到的求导方法对于计算高阶导数同样适用定理4 如果函数和都在点处具有阶导数，那么（1）（2），其中特别地，（为常数）定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz）公式例16 设，求解 ，一般地，设，则例17 设，求解 ，由归纳法可得特别地，当时，例18 设，求解 ，由归纳法可得类似地，可得例19 设，求解 ，由归纳法可得例20 设（为任意常数），求解 ，由归纳法可得特别地，当时，可得而例21 设，求解 例22 设，求解 设，则，由莱布尼兹公式，可得2.5 导数公式与基本求导法则基本初等函数
