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1、三角形“四心”的向量表示,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。,证明外心定理,证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ABC外接圆的圆心因而称为外心,O,O,点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。,O是,的外心,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。,D,E,F,证明:AD、BE、CF为ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的
2、平行线相交成ABC，AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证,证明垂心定理,A,B,C,例1如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。,又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点,证：设BE、CF交于一点H，,证：设,化简：,同理：,从而,是ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.,例3O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P的轨迹一定通过ABC的_,在ABC的边BC的高AD上.,P的轨迹一定通过ABC的垂心.,所以，,时，,解:,解:,例4.（2005全国）点O是A
3、BC所在平面上一点，若，则点O是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点,则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.,D,5.(2005湖南)P是ABC所在平面上一点，若则P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,D,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。,证明重心定理,E,F,D,G,是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.,例1P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心,思考：若O为ABC外心，G是ABC的重心，则,O为ABC的内心、垂心呢？,例2证明：三角形重心
4、与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,即：AG=2GD同理可得：AG=2GD,CG=2GF,例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,另证:,想想看？,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。,证明内心定理,证明:设A、C的平分线相交于I,过I作IDBC，IEAC，IFAB，则有IE=IF=ID因此I也在C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点,I,I,E,F,D,1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的充要条件是,2003天津理科高考题,B,是BAC的角平分线上的任意向
5、量，过内心；,3.（2006陕西）已知非零向量与满足则ABC为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形,解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理.不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择项，故答案必选D.,D,解法二：由于所在直线穿过ABC的内心，则由(等腰三角形的三线合一定理)；又，所以,即ABC为等边三角形，故答案选D.,注:等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、内心、中心”五心合一！,法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如所在直线一定通过ABC的内心;所在直线过BC边的中点，从而一定通过ABC的重心；所在直线一定通过ABC的垂心等.,【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式;(2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.,4.在ABC中:(1)若CAa，CBb，求证ABC的面积(2)若CA(a1，a2)，CB(b1，b2)，求证：ABC的面积,解:,3,作AC边上的中点E，,解2:,3,E,如图，延长OB至D，使OB=BD；,解3:,3,E,D,延长OC至E，使CE=2OC.则:2OB=OD,3OC=OE.,同学们，再见！,
