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1、1,工程数学第12讲,本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录),2,4 相互独立的随机变量,3,定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x,y有PXx,Yy=PXxPYy, (4.1)即F(x,y)=FX(x)FY(y),(4.2)则称随机变量X和Y是相互独立的.,4,设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX(x), fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)(4.3)几乎处处成立.注: 此处几乎处处成立的含
2、义是: 在平面上除去面积为零的集合以外, 处处成立.,5,当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4),6,例如 1例2中的随机变量X和Y, 由于,故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互独立的.,7,又如, 若X,Y具有联合分布律,则X,Y也是相互独立的. 再如2例1中的随机变量F和D, 由于PD=1,F=0=1/10PD=1PF=0. 因而F和D不是相互独立的.,8,二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为,其边缘概率密度fX(x),fY(
3、y)的乘积为,易证X和Y独立的充要条件是r=0.,9,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为,10,因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为,按题意需要求概率P|X-Y|1/12. 画出区域: |x-y|1/12, 以及长方形8x12; 7y9, 它们的公共部分是四边形BCCB,记为G. 显然仅当(X,Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时. 因此,
4、 所求的概率为,11,y=x,y-x=12,y-x=-12,7,8,9,10,11,12,8,9,B,B,C,C,A,G,12,而G的面积=ABC的面积-ABC的面积,即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.,13,以上关于二维随机变量的一些概念, 容易推广到n维随机变量的情况.n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数的定义为F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn其中x1,x2,.,xn为任意实数.,14,若存在非负函数f(x1,x2,.,xn),使得对于任意实数x1,x2,.,xn有,则称f(x1,x2,.,xn)为(X1,X2,.,
5、Xn)的概率密度函数.,15,设(X1,X2,.,Xn)的分布函数F(x1,x2,.,xn)为已知, 则(X1,X2,.,Xn)的k(1kn)维边缘分布函数就随之确定. 例如(X1,X2,.,Xn)关于X1,关于(X1,X2)的边缘分布函数分别为,16,又若f(x1,x2,.,xn)是(X1,X2,.,Xn)的概率密度, 则(X1,X2,.,Xn)关于X1,关于(X1,X2)的边缘概率密度分别为,17,若对于所有的x1,x2,.,xn有,则称X1,X2,.,Xn是相互独立的.,18,若对于所有的x1,x2,.,xm; y1,y2,.,yn有F(x1,x2,.,xm, y1,y2,.,yn)=F
6、1(x1,x2,.,xm)F2(y1,y2,.,yn),其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,.,Xm), (Y1,Y2,.,Yn)和(X1,X2,.,Xm,Y1,Y2,.,Yn)的分布函数, 则称随机变量(X1,X2,.,Xm)和(Y1,Y2,.,Yn)是相互独立的.,19,定理 设(X1,X2,.,Xm)和(Y1,Y2,.,Yn)相互独立, 则Xi(i=1,2,.,m)和Yj(j=1,2,.,n)相互独立. 又若h,g是连续函数, 则h(X1,X2,.,Xm)和g(Y1,Y2,.,Yn)相互独立.,20,5 两个随机变量的函数的分布,21,(一) Z=X+Y的分布 设(X,Y)的概
7、率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为,这里积分区域G:x+yz是直线x+y=z及其左下方的半平面, 化成累次积分, 得,22,x,y,O,x+y=z,23,于是,24,由概率密度的定义, 即得Z的概率密度为,由X,Y的对称性, fZ(z)又可写成,25,特别, 当X和Y相互独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y), 则(5.1)(5.2)式分别化为,这两个公式称为卷积公式, 记为fX * fY, 即,26,例1 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,27,解 由(5.4)式,即Z
8、服从N(0,2)分布.,28,一般, 设X,Y相互独立且XN(m1,s12), YN(m2,s22). 由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布, 且有ZN(m1+m2,s12+s22). 这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况.即若XN(mi,si2)(i=1,2,.,n), 且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+.+Xn仍然服从正态分布,且有ZN(m1+m2+.+mn, s12+s22+.+sn2).更一般地, 可以证明有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,29,例2 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联联接, 设R1,R2相互独立, 它们
9、的概率密度均为,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,30,解 由(5.4)式, R的概率密度为,易知仅当,时上述积分的被积函数不等于零.,31,z,x,O,10,20,x=10,x=z,x=z-10,32,因此,将f(z)的表达式代入上式得,33,例3 设X1,X2相互独立且分别服从参数为a1,b ; a2,b的G分布(分别记成X1G(a1,b), X2G(a2,b), X1,X2的概率密度分别为,试证明X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布.,34,证 由(5.4)式知, 当x0时, Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0. 而当z0时, Z=X1+X2的概率密度为,35,现计算A, 由
10、概率密度的性质得到:,36,于是,亦即Z= X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布, 即X1+X2G(a1+a2,b). 上述结论还能推广到n个相互独立的G分布变量之和的情况. 即若X1,X2,.,Xn相互独立, 且Xi服从参数为ai,b(i=1,2,.,n)的G分布, 则X1+X2+.+Xn服从参数为a1+.+an,b的G分布.,37,(二) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y). 现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z
11、, 故有PMz=PXz, Yz.又由于X和Y相互独立, 得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=PMz=PXz, Yz=PXzPYz,38,即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.7)类似地, 可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz=1-P(XzPYz即Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z).(5.8)以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.,39,设X1,X2,.,Xn是n个相互独立的随机变量, 它们,40,特别, 当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数时有Fmax(z)=F(z)n,(5.11)
12、Fmin(z)=1-1-F(z)n.(5.12)例4,X,Y,L1,L2,X,Y,L1,L2,X,Y,L1,L2,41,设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成, 联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作). 设L1, L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为,其中a0, b0且ab. 试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.,42,解 (1)串联的情况.由于当L1,L2中有一个损坏时, 系统L就停止工作, 所以这时L的寿命为Z=min(X,Y).由(5.13), (5.14)式X,Y的分布函数分别为,43,由(5.8)
13、式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,44,(2)并联的情况由于当L1,L2都损坏时, 系统L才停止工作, 所以这时L的寿命Z为 Z=max(X,Y)按(5.7)式得Z的分布函数为,于是Z的概率密度为,45,(3)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y按(5.3)式, 当z0时Z=X+Y的概率密度为,46,当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为,47,作业 第三章习题,第26页 第19,20,22题 B组交作业,48,请提问,49,例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率PYX. 解 (1),50,例1 一整数N等可能地在1,2,3,.,10十个值中取一个值. 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能整除N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的联合分布律.解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列如如下:,51,D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:,
