工程力学扭转变形

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1、第三章,扭转变形,杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,扭转受力特点及变形特点:,3.1 扭转的概念和实例,如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。,称为扭转角。,称为剪切角。,汽车方向盘,3.1 扭转的概念和实例,汽车传动轴,3.1 扭转的概念和实例,背 景 材 料,背 景 材 料,直接计算,1.外力偶矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩M

2、e,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,T = Me,2.扭矩和扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,如图求圆轴指定截面的内力。,由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；,（3）考虑留下部分的平衡,同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。,扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。,（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用； T称为扭矩。,解:,(1)计算外力偶矩,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,8

3、 kNm,画出以下结构的扭矩图（单位：kNm）。,3 kNm,6 kNm,动脑又动笔,分析与讨论,从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）,3.3 薄壁圆管的扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,两端施加一对外力偶 m。,3.3 薄壁圆管的扭转,2.实验后：,圆周线不变；,各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。,纵向线变成螺旋线。,3.结果：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,3.3 薄壁圆管

4、的扭转,薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力,如图所示，借助实验观察结合理论分析，可得如下结论：,（1）横截面上只有剪应力，没有正应力；（2）剪应力的方向沿圆周的切线方向。,薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。,3.3 薄壁圆管的扭转,用截面法，考虑一部分圆管的平衡：,A0为平均半径所作圆的面积。,3. 3 薄壁圆管的扭转,二、剪应力互等定理,这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。,3.

5、3 薄壁圆管的扭转,该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对正应力和剪应力同时作用的单元体亦成立。,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,3. 3 薄壁圆管的扭转,三、剪切虎克定律,单元体ab 的倾角 称为切应变，切应变是单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即,这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。,3. 3 薄壁圆管的扭转,三、剪切虎克定律,剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。,根据该式，在三个材

6、料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。,3.4 圆轴扭转时横截面上的应力,推导思路,几何关系 ( 平截面假设 ),物理关系 ( Hooke 定律 ),力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 ),切应变与相对转角之间的关系,切应力与相对转角之间的关系,相对转角表达式及切应力表达式,圆轴扭转的平截面假设, 圆轴横截面在扭转时始终保持是平面。, 圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。,切应力公式推导,1 几何关系 ( 平截面假设 ),在外表面处的切应变,在离轴心 r 处的切应变,2 物理关系 ( Hooke 定律 ), 是外表面沿轴线方向上的切应变。,d 是前后两个端面的相对转角

7、。,3、静力方面,如图所示，在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即,将 代入上式，得,令 ，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是,O2,dA,dA,b,T,而:,令,抗扭截面系数,由 ，对于圆，如图，则,三、极惯性矩 抗扭截面模量,对于空心圆,其中 。,剪应力分布图如图。,力学家与力学史,圆轴扭转的切应力公式是由 Coulomb 于 1784 年首先建立的。,Coulomb 是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。,Charles-Augustin de Coulomb ( 1736-1806 ),Kulun,库仑 法国物理学家。1736年6月14日生于昂

8、古莱姆，1806年 8月23日卒于巴黎。中学毕业后参加工程部队去国外工作，1772年返回法国从事材料强度和摩擦定律的研究。17771784年研究头发、金属丝和其他细丝的扭转规律，发明了扭秤（这种秤用于测量机械的、电的或磁的相互作用力）。1781年被选为巴黎科学院院士。17851789年库仑发表七篇回忆录，提出了关于电荷与磁极相互作用的定律库仑定律。库仑指出，电荷始终分布在导体的表面。库仑的实验工作对于建立电磁现象的理论有很重要的意义。为纪念他，人们以库仑作为电荷量的单位。,3.5 圆轴扭转时的应力和强度条件,例2 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。外力偶矩

9、为MKA=22kN.m, MKB=36 kN.m , MKC=14 kN.m 。已知材料的许用剪应力 ，试校核该轴的强度。,解：用截面法求得AB、BC的扭矩分别为,扭矩图如图所示。,故，该轴满足强度要求。,3.5 圆轴扭转时的应力和强度条件,例3 某传动轴，横截面上的最大扭矩Mn=1.5kN.m，许用剪应力 ，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其重量。 （1）横截面为实心圆截面； （2）横截面为 的空心圆截面。,解：（1）确定实心轴的直径,由强度条件 ，其中 ，得,取 。,3.5 圆轴扭转时的应力和强度条件,（2）确定空心轴的内、外径,由强度条件 ，其中 ，得,故,取,（3）重量比较,3

10、.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,一、扭转角的计算,由上节知 ，所以 ，于是,对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为,称为截面的抗扭刚度。,3.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,二、刚度条件, 称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 ，则上式改写为,例4图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；=60MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2kN.m,1kN.m,解：,按强度条件,3.6 圆轴扭转时的应力和强度条件,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2k

11、N.m,1kN.m,按刚度条件,该圆轴直径应选择：d =83.5mm.,3.6 圆轴扭转时的应力和强度条件,3.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,例5 图示圆轴，AB段为实心圆截面，直径d1=60mm，BC段为实心圆截面，直径D=80mm，CD段为空心圆截面，内径d2=60mm，外径D=80mm，所受外力偶矩如图。各段杆的容许剪应力为 。 （1）试校核该轴的强度；（2）如材料的剪切弹性模量 ，求此轴总扭转角。,解：（1）作扭矩图如图所示。,（2）强度校核,最大剪应力可能出现在AB段或CD段，其最大剪应力为,3.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,故满足强度条件。,（3）求总扭转角,例6 图示圆轴，已

12、知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；=60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,解：,按强度核该,d1,d2,3.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,d1,d2,满足强度条件。,按刚度核该,3.6 圆轴扭转时的变形和刚度条件,作业p136,9-4 9-7 9-8 9-9 9-14 9-15,