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1、第十一章 能量原理与变分法,要点：,（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想, 最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法,（2）位移变分法,（3）应力变分法, 最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,（4）位移变分法、应力变分法的应用,11-1 弹性体的形变势能,主 要 内 容,11-2 位移变分方程,11-3 位移变分法,11-4 位移变分法应用于平面问题,11-5 应力变分方程,11-6 应力变分法,11-7 应力变分法应于平面问题,11-8 应力变分法应于扭转问题,11-9 解答的唯一性,11-10 功的互等定理,11-11 弹性力学的广义变分原理简介
2、,11-0 引 言,1. 弹性力学问题的微分提法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）几何方程,（3）物理方程,（4）边界条件,应力边界条件；,位移边界条件。,定解问题,求解方法：,（1）按位移求解,基本方程：,（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;,（2）按应力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）边界条件。,（b） 相容方程；,（c） 边界条件。,（a） 归结为求解联立的微分方程组；,求解特点：,（b） 难以求得解析解。,从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：,2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
3、,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理, 能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,得到,广义（约束）变分原理。, 位移法, 力 法, 混合法, 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。,求解方法：,里兹（Ritz）法，,伽辽金（Galerkin ）法，,加权残值（ 余量）法等。,3. 弹性力学问
4、题的数值解法：,（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）, 有限差分法；,基本思想：,将导数运算近似地用差分运算代替；,将定解问题转变为求解线性方程组。,典型软件：FLAC,实质：,将变量离散。,（b）对变分方程进行数值求解, 有限单元法、边界单元法、离散单元法 等,典型软件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；, 基于有限元法的分析软件；,UDEC, 基于离散元法的分析软件；,基本思想：,将求解区域离散，,离散成有限个小区域（单元），,在小区域（单元）上假设可能解，,最后由能量原理,（变分原理）确定其最优解。, 将问题转变为求解大型的线性
5、方程组。,11-1 弹性体的形变势能,1. 形变势能的一般表达式,单向拉伸：,P,l,外力所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：,令：, 单位体积的变形能，,称为比能。,三向应力状态：,一点的应力状态：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：,（a）,整个弹性体的形变势能：,（b）,（c）,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,2. 形变势能的应力分量表示,在线弹性的情况下，由物理方程（8-17） ：,代入式（a），整
6、理得形变势能的表达式：,（d）,（e）,代入式（b），有：,（11-1）,将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,（11-2）,表明：,弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。,3. 形变势能的应变分量表示,用应变表示的物理方程（8-19）：,（f）,或：,代入式（a）：,（a）,并整理可得：,（g）,（11-3）, 0 1/2 ，, U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。,将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：,（11-4）,将几何方程（8-9）代入上式，得：,弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相
7、应的应力分量。, 格林公式,4. 形变势能的位移分量表示,表明：,（11-5）,本节内容小结：,1. 能量法的基本思想：,（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。,（2）将定解问题转变为求解线性方程组。,2.弹性体的形变势能的4种形式：,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,1. 一般形式,2. 应力分量表示形式,3. 应变分量表示形式,(11-3),4. 位移分量表示形式,5. 应变能关于应变、应力的变化率,11-2 位移变分方程,1. 泛函与变分的概念,（1）泛函的概念,函数：,x 自变量；,y 因变量，或称自变量 x 的函数
8、。,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数；,F 为函数 y 的函数，,称为泛函。,例1：, 弯矩方程,梁的形变势能：, 泛函,例2：,例2：,因为,所以，U 被称为形变势能泛函。,（2）变分与变分法,设：,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,研究自变量的增量与函数增量的关系 微分问题,设：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,函数的增量y 、泛函的增量 U 等称为变分。,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系 变分问题。,例如：,（1）压杆稳定问题,寻求压杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,（2）球
9、下落问题,球从位置1下落至位置2，所需时间为T，,当, 最速下降问题, 泛函的变分问题,（3）变分及其性质,定义：,泛函,增量：,函数,连续性：,称函数 z 在 x0 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处二阶接近。,泛函,函数,微分：,当x0时， 0，则 z 可用其线性主部表示其微分。即, U 增量的线性主部,变分：,当 max|y|0时，max 0，则 U 可用其线性主部表示, 即,极值：,若,在 x0 处有极值，,则有：,若 Uy(x) 在 y0(x) 处有极值，,条件：,
10、 一阶变分为零。,当,取得极值, 称为强极值,当,取得极值, 称为弱极值,极值：,（4）变分的运算,变分与微分运算：,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,复合函数的变分：,其中：,一阶变分：, 自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：, 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,2. 位移变分方程,建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系, 位移变分方程,设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。,边界：,位移场：,应力场：,满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。, 称为真实解,（1）任给弹性体一微小的位移变化：,满足两个条件：,（1）不破坏平衡状
11、态；,（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。,变化后的位移状态：, 称为位移的变分，或虚位移。,（2）考察弹性体的能量变化：,由能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（在没有温度改变、动能改变的情况下）,设：, 表示弹性变形势能的增量；, 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。,则有：,外力的虚功：,体力：,面力：, 外力,代入前式：,（11-6）,表明：,物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。, 式（11-6）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,3. 虚功方程,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,由格林公式:,表
12、示：,实际应力在虚应变上所做的虚功, 内力的虚功,将上式代入位移变分方程（11-6），有,（11-7）,虚功方程,表明：,如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。,4. 最小势能原理, 位移变分方程的一个应用,由位移变分方程：,由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。,于是，有：,以,为零势能状态，,并用 V 表示任意状态的外力势能，则,外力在可能位移上所做的功W，即,代入前式，有
13、,其中：, 形变势能与外力势能的总和，,称为系统的总势能,表明：,在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变分为零。,等价于总势能 U+V 取驻值。, 极值势能原理,平衡状态：,（1）稳定平衡状态；,（2）不稳定平衡状态；,（3）随宜平衡状态；,稳定平衡,不稳定平衡,随宜平衡, 势能取极小值, 势能取极大值, 不定,最小势能原理：,在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。,实际存在的位移应满足：,（1）位移边界条件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）应力边界条件。,（1
14、）位移边界条件；,（2）位移变分方程。,因而，有：,位移变分方程,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件。,（可互相导出）,（最小势能原理）,5. 伽辽金变分方程,由虚功方程出发，考察当位移分量满足：位移边界条件、应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的条件。,将虚应变用虚位移表示：,（c）,将其代入虚功方程：,同理，可得到其余各项的结果：,将其代入虚功方程左边，有：,将其代入虚功方程，并整理有：,当应力边界条件满足时，,上式可简化为：,（11-8）, 伽辽金（Galerkin）变分方程,表明：,当所取位移分量同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，,其位移变分需满足的方程。,（11-6）,（1
15、）位移变分方程,（2）虚功方程,位移变分方程小结：,也称 Lagrange 变分方程：,（3）最小势能原理,说明：,（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；,（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,（4）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,（11-8）,前节课内容回顾：,1. 能量法的基本思想：, 不依赖于自变量 x 变化的函数的增量,（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。,2. 变分与泛函的极值,（2）将定解问题转变
16、为求解线性方程组。,（1）泛函：,自变量 x 的变分恒为零。,（2）变分：,（3）变分的运算：,变分与微分运算,变分与积分运算,变分运算与积分运算互相交换。,变分运算与微分运算互相交换。,复合函数的变分,其中：,一阶变分：, 自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：, 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,泛函的极值,泛函取得的条件：, 取得极小值, 取得极大值, 不定，由高阶变分判别。,3.弹性体的形变势能,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,（1）一般形式,（2） 应力分量表示形式,（3） 应变分量表示形式,（11-3）,（4） 位移分量表示形式,（5）应变能关于应变、应力的变化率, 卡氏定理, 材料物理方程的能量表达式,4.位移变分方程,（1）任给弹性体一微小的位移变化：,满足两个条件：,（1）不破坏平衡状态；,（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。,变化后的位移状态：, 称为位移的变分，或虚位
