《高考数学三轮增分练（二）直线与圆锥曲线（2）文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学三轮增分练（二）直线与圆锥曲线（2）文（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(二)直线与圆锥曲线(2)1(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1，解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以MN2.2(2015课标全国)已知椭圆
2、C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意得，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值3(2016江苏省南京市高三第三次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab
3、0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点. 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证： OPOQ. (1)解由题意，得，1，又a2b2c2，解得a26，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)解椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x). 当切线方程为y(x)时，由方程组解得或所以PQ.因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为. 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为.综上所述，OPQ的面积为.证明()若直线PQ的斜率不存在，则直
4、线PQ的方程为x或x.当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ.当x 时，同理可得OPOQ. ()若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0.因为直线与圆相切，所以，即m22k22.将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2. 因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2.将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ.综上所述，OPOQ. 4(2016浙江)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线
5、段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2，因此AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足APAQ.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知AP，AQ，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e，得0e.所以离心率的取值范围为(0，4
