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1、(四)数列1(2016课标全国乙)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.2(2016天津)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kb，nN*，
2、求证： .证明(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以 .3在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().4已知数列a
3、n，bn满足2Sn(an2)bn，其中Sn是数列an的前n项和. (1)若数列an是首项为，公比为的等比数列，求数列bn的通项公式；(2)若bnn，a23，求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设cn，求证：数列cn中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积(1)解因为an()n12()n，Sn1()n，所以bn.(2)解若bnn，则2Snnan2n，所以2Sn1(n1)an12(n1)，两式相减得2an1(n1)an1nan2，即nan(n1)an12，当n2时，(n1)an1(n2)an2，两式相减得(n1)an1(n1)an12(n1)an，即an1an12an，又由2S1a12
4、,2S22a24，得a12，a23，所以数列an是首项为2，公差为321的等差数列，故数列an的通项公式是ann1.(3)证明由(2)得cn，对于给定的nN*，若存在k，tn，且t，kN*，使得cnckct，只需，即1(1)(1)，即，则t，则kn1，则tn(n2)，对数列cn中的任意一项cn，都存在cn1和使得5已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*)(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求Sn.解(1)令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得()2，因为0，所以1.(2)当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，所以2(n1)，即Sn1()an，当n2时，Sn11(1)an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是首项为的常数列，所以an(n2)代入得Sn()an1.4
