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1、（一）简谐振动最简单和最基本的振动是简谐振动任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成1特点质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置所受的力与位移的关系表示为（7.1）式中为正的常数对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数2运动的微分方程及其解根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成即（7.2）式中。如下面的（7.3）和（7.4）听示，是简谐振动的圆频率。微分方程（7.2）的解是（7.3）或（7.4）式（7.3）也可以表为复数形式（7.5）但要约定取其实数部分利用三角公式，很容易导出A，和B，C之间的关系即（7.6）3速度
2、和加速度作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，（7.7）（7.8）式（7.1）、（7.2）、（7.3）、（7.4）、（7.5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐4圆频率、周期和频率之间的关系，（7.9），三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率5振幅和初周相（7.3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定将初始条件：“，”代入（7.3）和（7.7），得（7.10）解得（7.11）求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，三个值
3、其中和由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，而根据（7.10）或（7.11）求出和值至于（或或），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关例如对于弹簧振子，完全由弹簧劲度系数和物体质量所决定弹簧的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就大。而物体的质量m大，就小6简谐振动系统的能量作简谐振动的质点动能为（7.12）振动系统弹性势能为（7.13）因此系统总机械能为（7.14）系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变这是简谐振动的一个特性总机械能E与振动的振幅平方A2，振动的圆频率平方成正比动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是（7.
4、15）注意和在一周期内对时间的平均值均等于12这样，（7.16）7.弹簧振子、单摆和复摆弹簧振子：无摩擦的水平面上的弹簧振子的振动是简谐振动的典型例子(图71)将坐标原点取在的平衡位置上，则物体所受的力如式(7.1)，运动微分方程如式（7.2），其解如式（7.3）或式（7.4）振动周期对于竖直悬挂的弹簧振子（图72）在竖直方向，除了受弹性力作用外，还受重力作用若选取坐标OX，竖直向下，原点O在弹簧既不伸长也不缩短的端点，则物体在任意位置所受到的力表为除了弹力之外多了一项恒定的外力重力但是若将坐标原点取在物体重力作用下的平衡位置O（显然O在O之下面处，见图72），则物体在任意位置X所受的力就可简
5、单地表示为这在形式上与水平弹簧振子相同在这种情况下，重力似乎可以不加考虑，同水平振子一样处理图71图72单摆：在摆角很小情况下，单摆的摆动是简谐振动。单摆的位置由角位移决定单摆摆锤受重力和摆绳张力T作用（图7-3）摆锤在竖直面上作圆周运动，如果仅考虑切向运动，则切向力为只要则（弧度单位）， 因此切向力表为图7-3（7.17）负号表示切向力指向平衡位置，驱使减小，是一恢复力这种力具有弹性力的特点，常称为准弹性力单摆的运动方程由牛顿第二定律切向分量式决定即（7.18）此式与微分方程（7.2）形式相同，所以单摆作简谐振动，其振动圆频率为（7.19）振动周期运动的表达式为（7.20）和为两个待定常数，
6、由初始摆角和初始角速度决定复摆:图7- 4一个可绕固定轴O摆动的刚体称复摆（图74）当在重力作月下平衡时，重力作用线通过O；设重心为C（即质心），当偏离平衡位置时，复摆所受的重力矩为设复摆质量为m，摆对O的转动惯量为I，并令，根据转动定律有对于小角度的摆动，上式变为（7.21）此式也与（7.2）相仿，因此复摆也作简谐振动振动圆频率为（7.22）周期运动表达式为和同样是由初始条件决定的积分常数拿（7.22）与（7.19）相比较，可把称作复摆的等值摆长8简谐振动的矢量图示法设简谐振动在图75的OX轴上进行由原点O作一矢量，它的长恰等于振幅A，这个矢量称为振幅矢量t0时，振幅矢量A与轴正向所成的角等
7、于初周相这个矢量以数值等于圆频率的角速度绕O作逆时针方图75向匀速转动在时刻t，振幅矢量在轴上的投影为，恰好表示简谐振动的位移而振幅矢量的端点Q在轴上的投影P点就在OX轴上作简谐振动Q点在一个圆上作匀速圆周运动，这个圆称为参考圆振幅矢量了旋转一周所需要的时间与简谐振动的周期相同简谐振动是一种变速运动，而振幅矢量的转动却是匀速运动对初学者来说，匀速运动更易于掌握同时，图示方法更形象、更直观这种方法还为振动叠加的研究提供了最简洁的方法（二）阻尼振动事实上无摩擦的简造振动只是理想情况由于摩擦阻尼和辐射阻尼使简谐振动的能量逐渐减小，因而振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动1运动的微分方程及其解若所受的
8、阻力与速度一次方成正比（在速度较小情况下的湿摩擦就是如此），阻力表为则运动的微分方程为（7.23）即（7.24）b为阻力系数，称为阻尼因子，即系统的固有圆频率(7. 24)为典型的二阶齐次线性常微分方程，它的解，在小阻尼情况下即在情况下是（7.25）式中称阻尼振动的“圆频率”，而“周期”。与简谐振动作比较，在有阻尼的情况下物体振动“频率”降低，“周期”变长严格来说，阻尼振并不是周期运动，只能说是一种准周期性运动式中和也是两个由初始条件决定的积分常数4临界阻尼和过阻尼当时，（7.24）的解为（7.26）式中C1和C2也是两个由初始条件决定的积分常数显然式（7.26）表示质点不再作周期性振动。这种
9、情况又称临界阻尼在临界阻尼情况下物体逼近平衡位置最快 临界阻尼常用于阻尼天平及电流计中，以避免振动并尽快逼近平衡位置至于的情况称为过阻尼，物体逼近平衡位置时间较长（三）受迫振动以上讨论的简谐振动和阻尼振动，称为自由振动其特点是一开始外界给系统以初始能量（给予初始偏离或初始速度），但在振动过程中不再有外力作用现在讨论振动过程中始终受一按正弦或余弦规律变化的外力作用，这种振动称受迫振动1运动微分方程及其解设周期性外力为式中为强迫力力幅，为强迫力圆频率，则运动微分方程为即（7.27）式（7.27）是二阶非齐次常微分方程它的解应包含两部分：一是式（7.27）所对应的齐次方程即式（7.24）的通解；二是
10、式（7.27）的一个特解完整的解可以写成解的第一部分随时间而衰减，故往往弃去这样只剩下第二部分，即与初始条件无关且不随时间衰减的稳态解（7.28）注意：式中A和不是由初始条件决定的常数，而是由，决定的量A为受迫振动振幅（7.29）为受迫振动和强迫力之间的周相差（7.30）2共振当周期性外力的频率接近系统固有频率时，受迫振动振幅达到极大值，即发生共振现象这种共振称振幅共振或位移共振振幅A作为强迫力圆频率的函数（见图76），很容易由式（7.29）求其极值获得共振频率令图7-6得（7.31）共振圆频率稍小于固有圆频率将值代入式（7.29）可得共振振幅（7.32）将值代入式（7.30）可得共振情况下的周相差（7.33）（7.34）当，时，事实上在一般情况下始终为负值，受迫振动位相总是落后于强迫力（四）振动的合成一个质点同时参与两个振动方向相同、频率相同的简谐振动，合振动仍为简谐振动（7.35）利用振幅矢量图示法容易求得（7.36）二个振动方向相同、频率略有差异的简谐振动，其合振动不为简谐振动，产生“拍”现象拍频为（，为两分振动频率）（7.37）二个振动方向互相垂直的简谐振动合成：（1）若二振动频率相同，合振动轨迹一般为一椭圆.（2）若二振动频率成整数比，合振动轨迹为规则的稳定的闭合曲线，称利萨如图但若不成整数比，轨迹为不闭合的复杂曲线.
