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1、高考小题分项练13推理与证明1在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”请判断一下，第四个人是老实人吗？_.(请用“是”或“否”作答)答案是解析依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎，因说别人是骗子的都是不诚实的，所以依据题设中的规则第四个人说的是真话，即第四个人是老实人，所以应填是2用反证法证明命题“设a，b
2、为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_方程x2axb0没有实根；方程x2axb0至多有一个实根；方程x2axb0至多有两个实根；方程x2axb0恰好有两个实根答案解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2axb0没有实根3观察下列规律|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，.则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为_答案80解析观察可得不同整数解的个数4,8,12，可以构成一
3、个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an4n，则所求为第20项，所以a2080.4 n表示一个三位数，记f(n)(abc)(abbcac)abc，如f(123)(123)(122313)12323，则满足f(n)n的三位数共有_个答案9解析因为abcabbcacabc100a10bc，所以(abab)(c1)10(10ab)c110，abab10abb9，a取1到9，共9个5对于任意正整数n，定义“n！”如下：当n是偶数时，n！n(n2)(n4)642，当n是奇数时，n！n(n2)(n4)531，且有n！n(n1)(n2)321.现有四个命题：2 016！2 015！2 016！；2 0
4、16！21 0081 008！；2 015！的个位数字是5；2 014！的个位数字是0.其中正确的命题有_个答案4解析根据题意，依次分析四个命题可得：对于，2 016！2 015！(24682 0082 0102 0122 0142 016)(13572 0092 0112 0132 015)123452 0122 0132 0142 0152 0162 016！，故正确；对于，2 016！2468102 0082 0102 0122 0142 01621 008(12341 008)21 0081 008！，故正确；对于，2 015！2 0152 0132 01131，其个位数字与13579
5、的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确；对于，2 014！24682 0082 0102 0122 014，其中含有10，故个位数字为0，故正确6如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则_.答案解析由已知，a233(21)，a363(31)，a493(41)，a5123(51)，an3(n1)，数列an是首项为3，公差为3的等差数列，通项为an3(n1)(n2)所以()，则9(1)1.7. 已知数列an是正项等差数列，若cn，则数列cn也为等差数列已知数列bn是正项等比数列，类比上述结论可得_若dn满足dn，则dn也
6、是等比数列；若dn满足dn，则dn也是等比数列；若dn满足dnb1(2b2)(3b3)(nbn)，则dn也是等比数列；若dn满足dnb1bbb，则dn也是等比数列答案解析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若dn满足dnb1bbb，则dn也是等比数列8已知anlog(n1)(n2) (nN*)，观察下列运算：a1a2log23log342；a1a2a3a4a5a6log23log34log783；若a1a2a3ak (kN*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1a2a3ak2 017时，“企盼数”
7、k为_答案22 0172解析a1a2a3ak2 017lg(k2)lg 22 017k22 0172.9已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是_买小包装实惠；买大包装实惠；卖3小包比卖1大包盈利多；卖1大包比卖3小包盈利多答案解析大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故正确；卖1大包盈利8.40.71.832.3(元)，卖1小包盈利30.51.80.7(元)，则卖3小包盈利0
8、.732.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多故正确10如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有_个答案100解析先推出两个小伙子的情形，如果甲的身高数乙的身高数，且乙的体重数甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数乙的身高数丙的身高数，且丙的体重数乙的体重数甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai(i1,2，100)，其身高数为xi，体重数为yi，当y100y99yiyi1y1，x1x2xixi1
9、x100时，由身高看，Ai不亚于Ai1，Ai2，A100；由体重看，Ai不亚于Ai1，Ai2，A1，所以，Ai不亚于其他99人(i1,2，100)，所以，Ai为棒小伙子(i1,2，100)因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个. 11如图甲所示，在直角ABC中，ACAB、ADBC，D是垂足，则有AB2BDBC，该结论称为射影定理如图乙所示，在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，AO平面BCD，O为垂足，且O在BCD内，类比直角三角形中的射影定理，则有_答案SSBCOSBCD解析从题中条件不难发现：图甲中的ACAB对应图乙中的AD平面ABC，图甲中的ADBC对应图乙中的AO平面BCD，
10、因此在类比的结论中，图甲中的边AB对应图乙中的面ABC，图甲中的边BC对应图乙中的面BCD，图甲中的边BD对应图乙中的面BOC.12设S ，则不大于S的最大整数S_.答案2 014解析 1()，S1()1()1()2 015，故S2 014.13在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_答案SSSS解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积
11、类比为直角三角形的斜边，可得SSSS.14对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1.其余项均为0，例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_答案(1)2(2)17解析(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，0，故前3项和为2.(2)依题意，E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，1,0，所以Pa1，a3，a5，a99；E的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，所以Qa1，a4，a7，a97，a100将目标转化为求数列Mn2n1与数列Ln3n2在1n100，nN时有几个公共元素，所以PQa1，a7，a13，a97，因为971(171)6，所以共有17个元素5
