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1、 1 第一章 矢量分析 第一章第一章 题题 解解 1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为 zy eeeA x 32； zy eeeB x 23； z eeC x 2。试求| |,| |,|CBA；单 位 矢 量 cba eee , ,； BA； BA； CBA )(及 BCA )(；BCA)(及CBA)(。 解解 14321 2 22222 zyx AAAA 14213 222222 zyx BBBB 5102 2 22222 zyx CCCC zy eee A A A e xa 32 14 1 14 zy eee B B B e xb 23 14 1 14 z ee C C C e xc
2、 2 5 1 5 1623 zzyyxx BABABABA zy zy zyx zyx zy BBB AAAeee eeeeee BA x xx 5117 213 321 zy zy eee eee CBA x x 22311 102 5117 因 zy zy zyx zyx CCC AAAeee eeeeee CA x xxxx 452 102 321 2 则 zy zy eee eee BCA x x 1386 213 452 152131532BCA 1915027CBA。 1-2 已知0z平面内的位置矢量 A 与 X 轴的夹角为， 位置矢量 B 与 X 轴的夹角为，试证 sinsinc
3、oscos)cos( 证明证明 由于两矢量位于0z平面内，因此均为二维矢量， 它们可以分别表示为 sincosAA y eeA x sincosBB y eeB x 已知cosBABA，求得 BA BABA sinsincoscos cos 即 sinsincoscos)cos( 1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为) 2 , 1 , 0( 1 P， ) 3 , 1 , 4( 2 P及) 5 , 2 , 6( 3 P。试问：该三角形是否是直角三 角形；该三角形的面积是多少？ 解解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 zy eeP2 1 ； zyx eeeP34 2
4、； zyx eeeP526 3 那么，由顶点 P1指向 P2的边矢量为 z eePP x 4 12 同理，由顶点 P2指向 P3的边矢量由顶点 P3指向 P1的边 矢量分别为 zy eeePP x 82 23 zy eeePP x 76 31 3 因两个边矢量0)()( 2312 PPPP，意味该两个边矢量相 互垂直，所以该三角形是直角三角形。 因 1714 22 12 PP 69812 222 23 PP， 所以三角形的面积为 11735 . 0 2 1 2312 PPPPS 1-4 已知矢量xy y eeA x ，两点 P1及 P2的坐标位置分 别为) 1 , 1 , 2( 1 P及) 1
5、 , 2 , 8 ( 2 P。若取 P1及 P2之间的抛物线 2 2yx 或直线 21P P为积分路径，试求线积分 1 2 d p p lA。 解解 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 2 2yx , yyxd4d ，则 142d6d2d4ddd 1 2 3222 1 2 1 2 1 2 1 2 yyyyyyyyxxy P P P P P P P P lA 积分路线为直线。因 1 P, 2 P两点位于1z平面内， 过 1 P, 2 P两点的直线方程为2 28 12 1 xy，即46 xy， yxd6d ，则 14412d46d6d 1 2 2 1 2 1 2 y
6、yyyyy P P P P lA。 1-5 设标量 32 yzxy ，矢量 zy eeeA x 22，试求标量 函数在点) 1 , 1 , 2(处沿矢量 A 的方向上的方向导数。 解解 已知梯度 222 3)2(yzzxyy zyx zyxzyx eeeeee 那么，在点) 1 , 1 , 2(处 的梯度为 zyx eee33 4 因此，标量函数在点) 1 , 1 , 2(处沿矢量 A 的方向上的方 向导数为 13622233 zyxzyx eeeeeeA 1-6 试证式（1-5-11） ，式（1-5-12）及式（1-5-13） 。 证明证明 式（1-5-11）为，该式左边为 zyx zy e
7、eex zzyyxx zy eeex zyxzyx zyzy eeeeee xx 即， 。 根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12） 和式（1-5-13） 。 1 1- -7 7 已知标量函数 z eyx 3 sin 2 sin ，试求该标量函 数 在点 P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。 解解 标 量 函 数在某点的最大变化 率即是函数在该点的梯 度值。已知标量函数的梯度为 zyx zy eeex 那么 z y z eyxeyx 3 cos 2 sin 33 sin 2 cos 2 eex z z eyx 3 sin 2 sin e 5 将点 P(1,2,3) 的坐标代入，得
8、 33 2 3 6 ee zyP ee 。 那么，在 P 点的最大变化率为 27 62 3 6 2 3 33 e ee zy P ee P 点最大变化率方向的方向余弦为 0cos； 27 cos 2 ； 27 27 cos 2 1-8 若标量函数为 zyxxyzyx62332 222 试求在) 1 , 2 , 1 (P点处的梯度。 解解 已知梯度 zyx zy eeex，将标量函数代 入得 662432zxyyx zy eeex 再将 P 点的坐标代入，求得标量函数 在 P 点处的梯度 为 yP eex93 1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12） 。 证明证明 式（1-6-11）为
9、AACC，该式左边为 AA C z A y A x A CCA z CA y CA x C z y x zyx 即 AACC 式（1-6-12）为AAA，该式左边为 zyx A z A y A x A z A z A y A y A x A x A z z y y x x 6 AA； 即 AAA 1-10 试求距离| 21 rr 在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐 标中的表示式。 解解 在直角坐标系中 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxrr 在圆柱坐标系中，已知cosrx ，sinry ，zz ，因此 2 12 2 1122 2 112221 sinsincoscoszzrrrrrr 2
10、 121212 2 1 2 2 cos2zzrrrr 在球坐标系中， 已知cossinrx ,sinsinry ,cosrz , 因此 2 1122 2 111222 2 11122221 coscossinsinsinsincossincossinrrrrrrrr 12121212 2 1 2 2 coscoscossinsin2rrrr 1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 1 r及 2 r的 终 点 坐 标 分 别 为 ),( 111 r及),( 222 r，试证 1 r与 2 r之间的夹角为 212121 coscos)cos(sinsincos 证明证明 根据题意，两个位置矢量在
11、直角坐标系中可表示为 111111111 cossinsincossinrrr zyx eeer 222222222 cossinsincossinrrr zyx eeer 已知两个矢量的标积为cos 2121 rrrr，这里为两个矢量的 夹角。因此夹角为 21 21 cos rr rr 式中 7 )coscos sinsinsinsincossincos(sin 21 221122112121 rrrr 2121 rrrr 因此， 212121 21212121 coscos)cos(sinsin coscos)sinsincos(cossinsincos 1-12 试 求 分 别 满 足
12、方 程 式0)( 1 rrf及0)( 2 rrf的 函 数)( 1 rf及)( 2 rf。 解解 在球坐标系中，为了满足 03 1 1 111 rf r rf rrfrfrfrrr 即要求 03 d d 1 1 rf r rf r r r rf rfd3d 1 1 ，求得 Crrflnln3ln 1 即 3 1 r C rf 在球坐标系中，为了满足 0 222 rrrrfrfrf 由于 0 2 rrf，0 r，即上式恒为零。故 rf2可以 是 r 的任意函数。 1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12） 。 证明证明 式（1-7-11）为AACC （C为常数） 令 zyx eeeA
13、zyx AAA， zzyyxx CACACACeeeA，则 A eeeeee A C AAA zyx C CACACA zyx C zyx zyx zyx zyx 式（1-7-12）为AAA 8 令 zyx eeeA zyx AAA， zzyyxx AAAeeeA，则 xyz zyx zyx A z A y AAA zyx e eee A zxyyxz A y A x A z A x ee zxyyxzxyz A y A x A z A x A z A y eee z x y y xz x y z y A x A z A x A z A y A eee AA 若将式（1-7-12）的右边展开，
14、也可证明。 1-14 试证 0 r，0 r r 及0 3 r r 。 证明证明 已知在球坐标系中，矢量 A 的旋度为 ArrAA r rrr r r sin sinsin 2 e ee A 对于矢量r，因rAr，0 A，0 A，代入上式，且 因 r 与角度，无关，那么，由上式获知0 r。 对于矢量 r r ，因1 r A，0 A，0 A，显然0 r r 。 对于矢量 3 r r ，因 2 1 r Ar，0 A，0 A，同理获知 0 3 r r 。 1-15 若 C 为常数，A 及 k 为常矢量，试证： 9 rkrk k cc eCe； rkrk AkA cc eCe)(； rkrk AkA cc eCe)(。 证明证明 证明 rkrk k CC eCe。 利用公式 FF，则 rkrk rkrkrk CCC
