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1、圆幂定理STEP 1:进门考理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。（1）例题复习。1. （2015夏津县一模）一副量角器与一块含30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且ABMN若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】作CDAB于点D，取圆心O，连接OA，作OEAB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解【解答】解：作CD
2、AB于点D，取圆心O，连接OA，作OEAB于点E在直角ABC中，A=30，则BC=AB=4cm， 在直角BCD中，B=90A=60，CD=BCsinB=4=2（cm）， OE=CD=2，在AOE中，AE=AB=4cm，则OA=2（cm）， 则MN=2OA=4（cm） 故答案是：4【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形2. （2017阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A2cm BcmC2cm D2cm【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）【分析】通过作辅助线，过点O作
3、ODAB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长【解答】解：过点O作ODAB交AB于点D，连接OA，OA=2OD=2cm， AD=（cm），ODAB， AB=2AD=2cm 故选：D【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键3. （2014泸州）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A4 B C D【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ：勾股定理【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题【分析】PCx
4、轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形由PEAB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在RtPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+【解答】解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，P的圆心坐标是（3，a）， OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3， D点坐标为（3，3）， CD=3，OCD为等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形，PEAB， AE=BE=AB=4=2， 在RtPBE中，PB=3，PE=， PD=PE=， a=
5、3+ 故选：B【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质4. （2013内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 【考点】FI：一次函数综合题【专题】16 ：压轴题【分析】根据直线y=kx3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案【解答】解：直线y=kx3k+4=k（x3）+4， k（x3）=
6、y4，k有无数个值， x3=0，y4=0，解得x=3，y=4，直线必过点D（3，4）， 最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4）， OD=5，以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， 圆的半径为13，OB=13， BD=12， BC的长的最小值为24； 故答案为：24【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置STEP 2:新课讲解教学目标1、 熟练掌握圆幂定理的基本概念。2、 熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、 能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。4、 通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分
7、的知识。学习内容1、 相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PCPD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PAPB（相交弦定理推论） 基本题型：【例1】 （2014秋江阴市期中）如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（）A6B12C8D不能确定【考点】M7：相交弦定理【专题】11 ：计算题【分析】
8、由相交线定理可得出APBP=CPDP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可【解答】解：APBP=CPDP，PD=，AP=3，BP=4，CP=2，PD=6，CD=PC+PD=2+6=8故选C【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等【练习1】 （2015南长区一模）如图，矩形ABCD为O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交O于点F，则线段AF的长为（）AB5C+1D【考点】M7：相交弦定理【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长【解答】解：四边形ABCD是
9、矩形，B=90，AE=，BC=3，BE=1，CE=2，由相交弦定理得：AEEF=BECE，EF=，AF=AE+EF=；故选：A【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键 综合题型【例2】 （2004福州）如图，AB是O的直径，M是O上一点，MNAB，垂足为NP、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果MNP=MNQ，下面结论：1=2；P+Q=180；Q=PMN；PM=QM；MN2=PNQN其中正确的是（）ABCD【考点】M7：相交弦定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与
10、性质【专题】16 ：压轴题【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案【解答】解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QFPNM=QNM，MNAB，1=2（故正确），2与ANE是对顶角，1=ANE，AB是直径，可得PN=EN，同理NQ=NF，点N是MW的中点，MNNW=MN2=PNNF=ENNQ=PNQN（故正确），MN：NQ=PN：MN，PNM=QNM，NPMNMQ，Q=PMN（故正确）故选B【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解 与代数结合的综合题【例3】 （2016中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于O，点P
11、在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（）ABCD【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理【专题】11 ：计算题【分析】设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=rm利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值【解答】解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即（rm）（r+m）=mQD，所以QD=连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，即，解得所以，故选D【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”
12、熟记并灵活应用定理是解题的关键 需要做辅助线的综合题【例4】 （2008秋苏州期末）如图，O过M点，M交O于A，延长O的直径AB交M于C，若AB=8，BC=1，则AM= 【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理【分析】根据相交弦定理可证ABBC=EBBF=（EM+MB）（MFMB）=AM2MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，则EM=MA=MF，由相交弦定理知，ABBC=EBBF=（EM+MB）（MFMB）=AM2MB2=8，AB是圆O的直径，AMB=90，由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64
13、，AM=6【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解2、 割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（割线定理） 由上可知：PT2=PAPB=PCPD 基本题型【例5】 （1998绍兴）如图，过点P作O的两条割线分别交O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（）A3B7.5C5D5.5【考点】MH：切割线定理【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PAPB=PCPD即可求得PD的长【解答】解：PA=3，AB=PC=2，PB=5，PAPB=PCPD，PD=7.5，故选B【点评】主要是考查了割线定理的运用【练习2】 （2003天津）如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E求AB、AD的长【考点】MH：切割线定理；KQ：勾股定理【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；延长BC交C于点F，根据割线定理，得BEBF=BDBA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长【解答】解：法1：在RtABC中，AC=3，BC=4；根据勾股定理，得AB=5延长BC交C于点F，则有：EC=CF=AC=3（C的半径），B
