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1、3.6 线性控制系统的稳态性能分析 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 3.6.2 稳态误差分析,控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。 对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、输入作用的类型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为原理性稳态误差。 此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素，都会造成附加的稳
2、态误差。这类由于非线性因素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。,3.6.1 控制系统的误差和稳态误差,可以说控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量消除系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一允许值。 显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，研究稳态误差是没有意义的。 有时，把在阶跃函数作用下没有稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有稳态误差的系统，称为有差系统。,一、控制系统的误差:,定义:参考输入信号 与被控量输出信号 间的差为控制系统的误差信号。记做 ，即：,但是系统的参考输入信号 与被控量输出信号 有时为不同量纲或量程的
3、物理量，在这种情况下，系统的误差不能直接用它们之间的差值来表示，应该将 和 转换为相同量纲或量程后方能进行相减。假设将 转换为与 相同的量纲或量程的转换系数为 ，则系统的误差有下列两种定义方式：,在本课以后的叙述中，均采用从输入端定义系统的误差，则如图系统的误差信号为：,从输入端定义的误差,在实际系统中是可以测量的,具有一定的物理意义;从输出端定义的误差,在系统性能指标的提法中经常使用,但在实际系统中有时无法量测,因而一般只有数学意义.,例如图所示系统为一调速系统，输入电压 范围05V，对应输出转速 范围05000rpm，检测装置选择量程转速为05000rpm（对应输出电压05V）的线性转速传
4、感器。则每一个给定的输入电压 都将对应一个确定的希望输出转速 ，这时，用以说明输入电压 与输出转速 之间比例关系的系数 便是转换系数 。在某一时刻，输入电压 ，理想的输出转速应是 ，若实际转速为 ，则其误差为 (从输入端定义），或为 （从输出端定义）。,对于参考输入信号和扰动信号同时作用的线性控制系统的误差,误差为E(s)=E1(s)+E2(s)，E1(s)为由参考输入信号引起的误差，E2(s)为由扰动信号引起的误差。误差同样定义在输入端，即定义在图中的A点处。,令N(s)=0，E1(s)对R(s)的传递函数 ：,令R(s)=0，E2(s)对N(s)的传递函数 ：,根据线性系统的叠加原理，可求
5、得该系统的总误差为,二、控制系统的稳态误差：,定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差，记为 。即：,由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不仅和系统的特性（系统的类型和结构）有关，而且和系统的输入(参考输入和扰动输入)信号的特性有关。由系统的类型、结构或输入信号形式所产生的稳态误差称为原理性稳态误差，而由非线性因素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本节不涉及附加稳态误差的计算，只讨论原理性稳态误差。 需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。,误差信号
6、包括瞬态分量 和稳态分量 两部分.由于系统必须稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量 趋于零,因而,控制系统的稳态误差 定义为误差信号的稳态分量,对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出：,由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差。它不能反映稳态误差随时间t的变化规律，具有一定的局限性。,注:当sE(S)在s平面的坐标原点上具有极点时,sE(S)并不满足在虚轴上解析的条件,严格说,此时并不能使用终值定理计算稳态误差,如果勉强使用,只能得到无穷大的结果.但,这一无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致.因此,便于应用,我们把sE(s)在
7、原点的极点划到s左平面的范畴.,例1：,设单位负反馈系统的开环传递函数为：,求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sint时系统的稳态误差。,解：,误差传递函数为：,系统是稳定的。,若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。,稳态误差为：,给定和扰动同时作用下的误差表达式,对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差,终值定理要求有理函数 的所有极点都在s平面的左半开平面（包括原点）。,由稳定的条件知： 不能满足 的要求,K=1时，系统稳定，系统存在有限稳态误差。K=6时，系统处于临界稳定状态，输出响应曲线围绕作等幅振荡。当K6时，系统不稳定，输出响
8、应曲线发散。,1、由参考输入信号引起的稳态误差与静态误差系数,显然， 与输入和开环传递函数有关。,3.6.2 稳态误差分析由参考输入信号引起的稳态误差,给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的开环增益k有关；与积分环节的个数有关。,假设开环传递函数 的形式如下：,系统的无差度阶数（开环传递函数的型）,通常称开环系统在s平面坐标原点上的极点个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。,之所以按照极点个数 对系统进行分类，是由于 反映了系统跟踪参考输入的能力，另外，可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在稳态误差及稳态误差的大小。,3.6.2 稳态误差分析开环传递函数的
9、型,稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有差系统。在单位阶跃作用下， 的系统为有差系统， 的系统为无差系统。,的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。,3.6.2 稳态误差分析单位阶跃函数输入时的稳态误差,当输入为 时（单位斜坡函数）,式中： 称为静态速度误差系数；,3.6.2 稳态误差分析单位斜坡函数输入时的稳态误差,3.6.2 稳态误差分析单位加速度函数输入时的稳态误差,3.6.2 稳态误差分析单位阶跃、速度和加速度函数共同输入时的稳态误差,例 已知控制系统的开环传递函数为 试求:系统的静态误差系数kp,kv,ka 输入信号r
10、(t)=1+2t时系统的稳态误差.,3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差（总结）,给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。 与时间常数形式的开环增益k有关；对有差系统，k，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。所以型及型以上的系统几乎不用。,由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是相矛盾的。,3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差（总结）,典型一阶系统的稳态误差,3.6.2 稳态误差分析典型一阶系统的稳态误差,典型二阶系统的稳态误
11、差：,3.6.2 稳态误差分析典型二阶系统的稳态误差,二阶系统引入速度反馈控制时的稳态误差：,3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入速度反馈控制时的稳态误差,二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差：,3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差,二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差：,3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差,稳态误差比较：典型二阶系统引入速度反馈环节后，跟踪阶跃信号和加速度信号时与原系统有相同的稳态误差，而跟踪斜坡信号时的稳态误差比原系统要大。典型二阶系统引入比例微分环节后不改变原系统的稳态误差。引入比例积分环节后将减小原系统的稳态误差。,原二
12、阶系统 速度反馈 比例微分 比例积分,3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入各种控制时的稳态误差（总结）,通常，给定输入作用产生的误差称为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。,可见， 不仅与 有关，还与 有关（扰动点到输出点之间的那部分前向通道传递函数）。,3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析,例子：考虑下面两个系统。,图a和图b的开环传递函数是一样的。,但对于扰动作用，由于扰动点不同，扰动前向通道不同，其扰动误差是不一样的。,对于给定输入，其稳态误差是一样的（假设输入为阶跃信号）。,3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析扰动误差与积分环节的关系,若在扰动作用点和
13、偏差点之间增加一个积分环节，可减小或消除稳态误差。,对于给定输入和扰动作用同时存在的系统，系统的总稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加（误差点定义在同一点）。,例3速度控制系统的结构图如下图所示。给定输入和扰动作用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。,解：,3.6.2 稳态误差分析（例子）,3、总的稳态误差为：,2、,为了减少给定误差，可以增加串联在前向通道中积分环节的个数（即增加系统的型别）或增大系统的开环放大系数。 为了减小扰动误差，可以增加误差点到扰动作用点之间积分环节个数或放大系数。 这两种方法都将影响系统的稳定性，降低系统的瞬态性能。 放大系数不能任意增大，积分环节也不能太多（一般少
14、于2个），否则系统将会不稳定。,3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施,比例积分控制器的时域表达式为,工程上最常用的方法是将比例积分控制器串联在系统的前向通道上。积分系数越大，积分作用越强。积分控制作用可以消除系统的稳态误差；但积分作用太大，会使系统的稳定性下降。,3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分（PI）控制,以典型二阶系统为例，讨论系统引入比例积分控制后稳态误差的变化情况,先讨论给定误差。令N(s)=0，为突出讨论积分的作用，可假设比例系数Kp=1。系统的开环传递函数为,该系统为型系统，系统的闭环传递函数为,由劳斯稳定性判据知，当0ki2zwn时，该系统是稳
15、定的。其静态误差系数分别为,其给定误差分别为 ：,可知，引入比例积分控制后将减小或消除系统给定稳态误差。,再讨论扰动误差。令R(s)=0，同样假设比例系数Kp=1。系统的扰动误差传递函数为：,误差为：,当扰动信号分别为单位阶跃、单位斜坡和单位加速度信号时，由上式可求得系统的扰动稳态误差分别为0，1/ki，。而原系统在相同输入情况下的稳态误差分别为-1，。,引入比例积分控制后可减小系统的扰动稳态误差。 控制系统引入比例积分控制后，只要比例系数和积分系数选择恰当，就能很好地减小或者消除系统的给定和扰动稳态误差。,解：该系统对给定输入而言属于型系统。所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差,若想使稳
16、态误差为零，则要求G1中有积分环节，令,此时,由于此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统 ，直接加一个积分环节是不可行的。若要使系统稳定，还必须在原G1中引入比例+微分环节,当K10，K20， 0时系统稳定,对不对？,由此可见当用 时，才能在保证稳定的前提下使系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零。,这个环节称为比例+积分环节或比例+积分控制器(PI控制器)。,例5,对于图示系统，试求r(t)=t，n(t)=1(t)时系统的稳态误差。,解：,系统的开环传递函数为,为1型二阶系统，系统是稳定的,在r(t)=t，稳态误差,在扰动信号作用下的误差表达式为：,n(t)=1(t)时，稳态误差为：,系统总的稳态误差为,用动态误差系数表示系统的稳态误差,前面讨论了控制系统的静态误差系数（静态位置、速度和加速度误
