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1、第五章 能带理论,解：,由式,可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足,由此得,（1）,于是,因此得,所以,（2）,即,得,所以,解：,如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均,即可，,于是得,5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带,宽度。,解：,在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示,式为,其中,是周期势场V(x)付里叶级数的系数，,求得。,第一禁带宽度为,该系数可由式,第二禁带宽度为,解：,用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点,的相互作用时，,对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0），,则8个,最近邻格点的坐标为,其
2、能带的表示式为,将上述8组坐标代入能带的表示式，得,由余弦函数的性质，用观察法即可断定，,当,时，,能带中的能量取最小值,当,时，,能量取最大值,因而能带的宽度为,解：,（1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为,所以,又,得,（2）,按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为,此处,若只取一项，则,解：,倒格子基矢为,(1),因为,以,如图6-11所示,图中“。” 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。,为基矢构成的倒格子,（2）,其结果如图所示。,如采用简约形式，将第二区移入第一区，,（3）,简约布里渊区的面积,便有2N个状态。,而状态密度,当每个原胞有两个电子时，晶体电
3、子的总数为,设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中,所以,这就是费米圆的 半径，据此做出 费米圆如图所示。,5.7 有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为,（见图），试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。若,每个原胞有2个电子试画出其费米圆周。,解：,如图所示，平面六角晶格,取六角形的中心为坐标原点， 原胞也如图中画出。,每个原胞中包含有两个原子。,是一个复式格子。,基矢,可由下式给出,，可得到倒格基矢,在二维晶格下，取,其中,由,给出。,所以,根据倒格基矢就可以 画出个倒格点，从而 画出布里渊区如图。,当每个原子有2个电子 时，则二维晶格的价 电子面密度为,可算出费米圆
4、的半径,由此可以画出自由电子的 费米圆，如图中的所示。,考虑周期势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点修正：（1）在布里渊区的边界线处发生分裂。（2）费米圆与布里渊区边界线间的交角进行钝化。,解：,（1）,正格原胞的基矢,如图所示取为,其中 和 是相互垂直的,单位矢量。,取单位矢量 垂直于 和 ，则 和 构成的体积,倒格原胞的基矢为,（2）,选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们,是,这6个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。,第一布里渊区内切圆的半径为,证明：,对于一级反射，n=1,则有,(1),式中，d为反射晶面族的面间距，,为布拉格角。
5、,在第一布里渊区边界面上，必有,根据布拉格衍射公式,此处,为被界面垂直平分的倒格矢，,(2),令(1)(2)两式右边相等，便得,(3),式中a为立方晶系的晶格常数，h,k,l为晶面指数。,对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为2/a的面心立方 格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的12个面心的倒 格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度,由此得,正好等于面对角线长度的一半，,即,于是从(3)式给出,(4),根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数 的晶面族才能产生1级反射，因此从(3)(4)两式容易看出，与布 里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为 .,解：,(1),式中,
6、和,分别为参考原子及其最近邻的位矢。,在面心立方格子中，有12个最近邻。,=0,12个最近邻的坐标分别是,5.10 用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，若只计最 近邻的相互作用，试导出其能带表达式。,原点时，,晶体中s态电子的能量表示为,若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，,当取参考原子为坐标,对于s态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，,，则从(1)式得,令,证明：,(1),波函数,具有如下性质：,(2),代表平移算符。,显然，平面波,可写成,按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电子的波函数,满足(2)式，,为任意倒格矢。,因此，电子波函数应当是所有,的线性叠加，即,
7、(3),其中,。,对比(1)(3)两式可知,(4),容易看出，,具有晶格的周期性。,由(4)式还可得到,其中,也为任一倒格矢。,令,，,则上式可以写成,(5),由(1)(5)式，有,(6),即电子波函数在,空间具有平移对称性。,由薛定谔方程,结合(6)式，立即得到,证明：,表示，电子波函数用,表示，,则薛定谔方程为,从布洛赫定理知道，波函数,若周期性势场用,代入薛定谔方程，并由,便可得到决定函数,的方程：,(1),取(1)式的共轭复式，得,(2),若在(1)式中用,代替,，则有,(3),比较(2)(3)式可知，除了满足,之外，,显然有,可见，在任一能带,中，波矢为,相同的能量。,和,的两状态具
8、有,证明：,角隅处C和侧边中点处A的 波矢分别为,相应的自由电子能量为,可见，,对于三维简单立方 晶格，若晶格常数为a， 第一布里渊区是一个边 长为1/a的立方体(如图)，,。,此时,相应的自由电子能量为,可见，,即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅,处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的3倍。,证明：,(1),在紧束缚近似条件下，s态布洛赫电子的能带可表示为,取,，即以参考原子为坐标原点，,其六个最近邻的坐标分别为,代入(1)式，得,(2),注意到,和,两原子与原点距离相等，,应有,则对于简单正交晶系，,同理,代入(2)式，并应用尤拉公式进行化简即得,或统一表示为,解：,空间中一个边长为1/
9、a的,简单立方格子，如图所示。,6个最近邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格 矢分别为,简单立方晶格的第一布里渊区是,取立方体中心的倒格点为原点，它有,在简约能区图式表示法中，,所有的电子波矢,都要变,换到第一布里渊区内。,为简,单计，本题的计算只取原点,o和界面上的点A,B。,这样，,设,可取,方向上所有,可能的值，其对应的能量为,于是，第一区及其邻近区域内沿,方向的Ek图可分别求出,如下：,(1)第一布里渊区,据此可作略图，如图中的,曲线。,图中,取作能量的单位。,(2)各邻近区域,当,时，则,作略图如曲线,。,当,时，则,作略图如曲线,。,当,时，则,作略图如曲线,。,当,和
10、,时，,所得曲线,与曲线,重合。,当,时，有,作略图如曲线,。,5.16 设有晶格常数为a、2a、3a的简单正交晶格，试求：,（1）简约布里渊区的图形及体积；,（2）在自由电子近似下，费密面与简约布里渊区的各边界面相切时所对应的价电子数与原子数之比；,（3）若该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边界面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。,解：,（1）令简单正交晶格的三个晶轴分别为X、Y、Z轴，则,它的基矢可写成,可求出它的倒格子基矢,由此倒格矢可写成,而布里渊区边界面由式,给出,即,取最短的几个倒格矢，得到的相应边界面可列表如下：,从上面的平面方程中，可以看到离原点最近的几个面是上
11、表中,列出的最前面三个方程所表示的六个平面。,这六个平面围成,一个长方体如图所示，这就是该晶格的第一布里渊区，,它的,体积是,（2）在自由电子近似下，费米面为球面。,当费米面与第一布里渊区的 三对平面相切时的半径分别为,（1）,由,式可得各情况下的相应电子密度,每个原胞的体积,根据以上几式可求出各个原胞内所含的自由电子数,（2）,因为简单正交格子是简单格子，所以每个原胞中只包含一个,原子，因而上面算得的,即分别是三种情况下的,自由电子数与原子数之比。,（3）,如果费米面是与简约布里渊区的各个边界面相切的椭球,面，则它的费米面方程可写成,这里的,分别是椭球的三个主轴长度，由（2）给出。,椭球,中
12、可以有,个轨道状态。,考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳的电子数为,因此晶体的电子密度为,（3）,每个原胞所含的电子数即为,因为简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子，所以,也即是自由电子数与原子数之比。,为了得到,值，必须,知道椭球的体积 。,为此。令,（5）,由（3）、（5）两式可知,（4）,即变成一个半径为r的球面方程，它的体积为,在作（5）式的变换时，相对应的体积变换关系为,所以,把上式代入（4）式，并利用（1）、（2）式，即可得晶体中,自由电子数与原子数之比,5.17 体心立方晶格，原子总数为N 。假设电子等能面为球面， 试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里 渊
13、区实际填充的电子数。,解：,因此，在第一布里渊区内实际填充的电子数应等于同布里渊区的边界面相切的费米球内所容纳的电子数。,设体心立方的晶格常数为a，则其倒格子是边长为2/a的面心立,量相当于等能面和布里渊区的边界面相切处的能量。,在电子等能面是球面的情况下，第一布里渊区内的最高能,相切的费米球的半径R将等于布里渊区中心到最近邻面心的距离,方格子，,第一布里渊区是一个十二面体，同布里渊区的边界面,之半，即等于面心立方格子的面对角线的1/4，,因而,另一方面，在体心立方晶格中，每个晶胞包含两个原子，,每个原子平均占有体积,，,包含N个原子的晶体的总体积,因为,空间中状态密度为2V，,那么，费米球内容纳的电子数,5.18 下面两种平面格子是布菲格子还是复式格子?其固体物理学原胞如何选取?平均每个固体物理学原胞包含几个结点?,答:,(a)是布喇菲格子,(b)是复式格子,平均每个固体物理学原胞包含1个结点.,或,二维六方晶格的前十个布里渊区,5.19 求自由电子费密半径kF,法二:,设晶体有N个原胞,每个原胞有个价电子,每个布里渊区中波矢状态数为N个,每个波矢状态可容纳2个电子,所以在波矢空间的电子状态密度,间的电子状态数:,在T=0K时,自由电子等能面为球面,法一:,二维:,三维:,一维:,
