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1、第四章 正弦稳态分析,正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的应用极为广泛。电路在以正弦规律变化的激励的作用下的各线性元件的响应的变化规律的分析是电路分析的又一重点。,第一节 正弦量及其描述,一正弦量的时域表示,正弦电流,正弦电压,Im 、Um 振幅(最大值)；, 角频率；,i 、u 初相角。,三要素,1周期T 、频率f和角频率（正弦波变化快慢要素）,T正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，s,f正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHz,相角随时间变化的速率， 。正弦量变化一周时其相位变化了 2弧度, T=2,正弦量及其描述,低频(音频) 20kHz，如工频 f =5
2、0Hz(=314rad/s T = 0.02s)；,中频 几百kHz，如我国电台中波：5351605kHz；,高频 几MHz以上，如电视信号：几十几百MHz,f,2相(位)角、初相(角)与相位差（正弦波变化的进程要素）,相角：如(t+i )，反映正弦量的变化进程。,初相:i =(t+i )|t=0, 即t = 0时刻的相角,与计时起点有关，其SI单位为rad且rad =180；1=(/180)rad .,=0的正弦量可视为参考正弦量；,i为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离。(纵轴右边正向最大值的点与原点间的最短距离计为负值)。,图中，i 0，(t+i )=0，即t = -i时，i达正向
3、Im ；同理，i 0 .,通常在 |i | 的主值范围内取值，这样可使波形表达式唯一。不满足此式时，可通过2 来获得其主值范围。,正弦量及其描述,相位差：=两同频率正弦量的相角之差，对两个同频率的正弦量而言，其相位差等于它们的初相之差(与t无关的常数)。,ui 0(u i )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u,ui0(u i )：称u相位滞后于i 或称i相位超前于u,ui =0 (u =i )称u与i同相,ui = 称u与i反相,ui =(2) 称u与i正交,3振幅(幅值、最大值)与有效值的关系,有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内流过某电阻R所作的
4、功等于大小为I的直流电流在这段时间T内流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。,正弦量及其描述,有效值即方均根值,符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值：I， U， U1 ， 相应的大写字母。,正弦量有效值与最大值的关系：,交流表指示值、铭牌交流额定值通常指有效值(如220V，380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V,正弦量的频域表示,在主值范围内(-/2 +/2)的取值，所在象限的正负与a、b正负的关系如图,复数代数形式与极坐标形式的计算器互换,例1：将-3-j4 r .,3
5、+/- a 4 +/- b 2ndF r 显示“5” b 显示“-126.8698”,注意到此例分子分母均负，因而为第三象限角。,例2：将10-60 x, y,1.,2.,3.,1.,2.,10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66,3.,复数的四则运算,设A1 =a1+jb1 = |A1|1 , A2 =a2+jb2 =|A2|2,复数加、减 宜用代数形式进行或在复平面上用平行四边形法则或多边形法则进行,A1A2 =(a1a2) + j(b1b2),复数乘、除 宜用极坐标形式进行：,A1A2 =|A1|1|A2|2 =|A1|A2|(1 +2),复数的四
6、则运算可用具复数计算功能的计算器直接计算,2ndF CPLX 5 a 4 b 6 a 3 b =显示“18” b 显示“39”,例：(5+j4) (6+j3)=18+j39,3、正弦量与复数的关系：,由欧拉公式，复指数函数：,A1A2 = |A1|ej1|A2| ej2 =|A1|A2| ej(1 +2 ),正弦量：,复数的四则运算,大写字母I上加小圆点是为了使之与有效值I相区别，相量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数。,此复数称为正弦量i的(有效值)相量(phasor)。,为一旋转矢量，ejt为按角速度逆时针旋转的旋转因子,为此旋转矢量在实轴上的投影,几何意义：,相量
7、 与正弦量i一一对应。即：给定了正弦量，就可以写出其相量；反之， 给定了相量及，就可写出其正弦量。相量反映了正弦量中振幅及初相这两个要素，暂时撇开了及t。,例：,解：,4正弦量运算与相量运算的对应,同频率正弦量相加(减)的结果仍为同频率的正弦量，且对应为相量的加(减)。,1）两同频率正弦量相加(减)：,例 已知,用相量形式求u1+u2,可见相量计算比三角函数法计算简便。,DRG显示“DEG”2ndF CPLX 5 a 30 b 2ndF xy + 10 a 60 b 2ndF xy =显示“9.33” b 显示“11.16” 2ndF r显示“14.55” b 显示“50.1”,解：,2）正弦
8、量的微分与积分,求导相量j,正弦稳态下R、L、C等元件的VAR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知正弦稳态电路微分方程可对应为复数系数的相量代数方程。因而正弦稳态分析可用比较简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式。,积分相量j,第二节 正弦电路中的电阻、电感和电容,从而其相量模型和波形分别为：,一、R元件：,当UL 一定时，L越大，IL 就越小，XL =L 称为感抗,量纲L=VA= 越大，XL 越大，高频信号就越难以通过L；,二、L元件：,相量模型和波形,=0，即XL =0,直流情况下L可等效为短路.,三、C元件：,UC 一定时，1C越大，IC
9、就越小，XC = -1C称为容抗。,量纲1C=VA=, 越大，即XC 越小时，高频信号就越容易通过C；=0，即XC 时，直流情况下C可等效为开路。,相量模型和波形,第三节电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳,一、KCL、KVL的相量形式：,二、复阻抗、欧姆定律的相量形式：,在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为其等效复阻抗Z (complex impedance),欧姆定律的相量形式。,对R、L、C元件，有：,Z是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点,Z的两种坐标形式：,极坐标形式：Z=|Z|Z,代数形式：Z=R + jX,Z、|Z|、R、X的量纲皆为，且满足“阻抗三角形
10、,N个复阻抗串联：,复数形式的分压公式。,阻抗“性质”：,X=0(Z = u-i =0)： ， 同相，N0呈电阻性(谐振状态)；,X0(Z =u-i 0)： 滞后于 ，N0呈(电)容性,X0(Z =u-i 0)： 超前于 ，N0呈(电)感性；,例1图示电路已知： ，试求正弦稳态下的i 、uR 、uL 与uC ，并作相量图。,解：此题如直接在时域求解,则据KVL及元件的VAR列写i的方程为一二阶微分方程,解方程较烦.我们用欧姆定律的相量形式即相量法分析:,例1,建立电路的相量模型如图,其中:,讨论：,作相量图时：串联电路以电流相量为基础作出电压相量比较方便；并联电路以电压相量为基础作出电流相量比
11、较方便,i)对RLC串联正弦稳态电路有：,的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；,iii) Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗与其电压相似：,ii)UL =240V，UC =160V，都大于电源电压U =100V(DC 电路不会如此)，这是由于电感上,三、复导纳Y,在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳Y(complex admittance)，即：,Y代数形式所对应的“并联模型”的导纳与其电流相似：,其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆为西门子(S).,Y与Z的关系 ：,（1）显然有：,得：,（2）且由：,注意：当Z 0时，上式中的G1/R，|B|
12、1/| X |且B与X异号。,反映了Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系,对应得：,Y的“性质”：,B=0(Y=i-u=0)， 、 同相，N0呈电阻性(谐振状态)；,B0(Y =i-u 0)， 滞后于 ，N0呈(电)容性；,B0(Y =i-u 0)， 超前于 ，N0呈(电)感性。,单个R、L、C元件的复导纳,BL为感纳BC为容纳。,N个导纳并联及复数形式的分流公式,第四节 正弦稳态功率,一、瞬时功率p(instantaneous power),则网络N吸收的瞬时功率：,图中u、i对N而言为关联方向，若设：,以图示电路（感性0）为例，电路的u,i,p的波形如图:,其物理意义为：,p的恒定分量
13、算术平均值) P = UI cos 反映了N消耗的平均功率；,p0时，外电路能量一部分被N内R所消耗，另一部分L、C储能；,p0时，N内L、C释放的能量R所消耗，另一部分外电路；,| 越接近于/2，则阴影部分就越接近于半个周期，P = UI cos就越接近于0，即与外电路能量交换的规模就越大。,瞬时功率的实用意义不大，其平均值才能反映网络实际吸收的功率,二、平均功率P(average power)、功率因数( power factor),= cos称为功率因数，称为功率因数角(N无源时为阻抗角)。,反映了N的平均耗能速率，亦称为有功功率(active power) 。,R、L、C元件的功率表达
14、式如下：,为了反映这种能量交换的情况，引入：,三、无功功率Q（reactive power）,注意：Q L = UL IL 0，Q C = -UC IC 0是相对于(sin)的正负而言的，并不代表L、C元件实际吸收(或产生)无功功率。,Q L = UL IL ；Q C = -UC IC ；Q R = 0,电抗元件不耗能，但有能量交换，Q则反映了N内部电抗元件与外部电路交换能量的最大速率Q的量纲也是W，但Q与耗能无关(故称为无功功率)，规定其SI单位为：Var(乏，无功伏安)。,四、视在功率S（apparent power）,发电、变配电设备的容量取决于额定值UN 、IN (有效值最大的情形)，
15、可用“视在功率”来表征这种容量：,S =UI S的量纲也是W，但规定其SI单位为“伏安”(VA),负载从电源处所获得的功率是在S =UI的基础上打了一个折扣：P =UI cos= S，S也称为表观功率。,讨论：,1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗电压与功率相似：,2、Y代数形式所对应并联模型的导纳、电流与功率相似：,3、通常阻抗角在I、IV两象限，不论正或负，总有cos0 。为了区分起见，给定(即cos)值时，常在后面附加“滞后”或“超前”字样。由于通常是电压源供电，“滞后”指i滞后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性)；,例：三表法测线圈交流参数R和L：,解：方法一,方法二,五、功率因数
16、(=cos)的提高,原因,由于电力系统的负载多为感性负载（如日光灯、电机、电扇等），故提高的方法：在感性负载的“附近”（如某单位的变电所）并联适当的电容。不会影响原负载的工作（电压电流不变）!,通过例子说明：,例：原电路P =10kW，cos1 =0.6(感性)。如何使电路的cos提高到0.9？,解：i)并联电容后相量图定性分析如图：小于1，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、电流的大小和相位不变（负载工作状况不变）；而总电流（输电线路）I明显小于I1 。,ii ) 由cos1提高到cos所需C的公式推导：,并联电容不改变整个电路的P，只改变其无功（无功补偿）而Q由P tg1= QL变为P tg=QL + QC = P tg1 CU 2 ，,iii ) 此例题正常求解的计算过程：,要使cos提高到接近于1，所需的C将要大大增加，但I的减小已十分有限了 效益差 故一般将cos提高到0.9左右即可。,六、复功率 ，功率平衡,六、复功率 (complex power)，功率平衡,1复功率,（2）对于无源网络的串联等
