《数学直线与方程知识分享》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学直线与方程知识分享(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第八单元 平面解析几何,第一节直线与方程,基础梳理,1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴_与直线l_方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为_ 倾斜角的范围为_ (2)直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角a的_叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=_,倾斜角是90的直线斜率不存在,过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为k=_. 2. 直线方程的五种形式,基础达标,1. (教材改编题)经过A(-4,-3),B(5,-1
2、)两点的直线的倾斜角是() A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 零度角 2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,则有() A. ab0,bc0 B. ab0,bc0 D. ab0,bc0 3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有() A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点_ 5. (教材改编题)过点A(1,1)和B(-1,5)的直线方程为_,答案:1. A解析:k=tan a= 0,所以倾斜角为锐角,故选A. 2. D解析:数形结合可知- 0,- 0,即ab0,bc0. 3.
3、B解析:截距为0时有一条,截距不为0时有一条 4. (3,1)解析:将kx-y+1=3k变为直线的点斜式方程为y-1=k(x-3),知直线过定点(3,1) 5. 2x+y-3=0解析: 过A、B两点的斜率为k= =-2,由点斜式写出直线方程化简得2x+y-3=0.,解:当m=0时,a=90,满足题意; 当m 0时,45a135, k1或k-1, 1或 -1,解得0m 或m0. 综上,m的取值范围是 .,经典例题,题型一直线的倾斜角和斜率 【例1】已知经过A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为a,且45a135,试求实数m的取值范围,变式1-1 直线xcos q+y-1=0(qR)的
4、倾斜角的范围是 (),答案:D 解析: 设倾斜角为a,则k=tan a=-cos q. qR,-1-cos q1,-1tan a1, a,解:方法一:由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零,设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为12-a,直线方程 为 + =1,因为直线过点A(-3,4), 所以 + =1, 整理得a2-5a-36=0,解得a=9或a=-4, 所以直线方程为 + =1或 + =1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.,题型二求直线的方程 【例2】求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线方程,方法二:因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零,故直线
5、的斜率存在且不为零,故设直线方程为y-4=k(x+3)(k0) 当x=0时,y=4+3k, 当y=0时,x=- -3, 所以3k+4- -3=12,即3k2-11k-4=0,解得k=4或k=- ,所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=- (x+3), 即4x-y+16=0或x+3y-9=0.,方法三:设直线方程为y=kx+b, 因为直线过点A(-3,4), 所以3k-b+4=0, 又直线在两坐标轴上的截距之和为12, 所以b+ =12. 由解得k=4,b=16或k=- ,b=3, 所以直线方程为y=4x+16或y=- x+3, 即4x-y+16=0或x+3y-9=0.,变式2-1 求过点
6、P(3,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程,解:当直线过原点时,方程为y= x; 当直线不经过原点时,设方程为 + =1, 把P(3,4)代入得a=5, 方程为2x+y-10=0, 综上,所求方程为y= x或2x+y-10=0.,题型三与直线方程有关的最值问题 【例3】直线l过点M(2,1),且分别与x、y轴正半轴交于A、B两点,O为原点求当AOB面积最小时,直线l的方程,解:方法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0), 则有A 与B , 所以S(k)= (1-2k) = (4+4)=4,当且仅当-4k= ,即k=- 时,等号成立 故直线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.,方法二:设过M(2,1)的直线为 + =1(a0,b0),则 + =1. 由基本不等式得2 + =1,即ab8, SAOB=ab4,当且仅当 = = ,即a=4,b=2时,等号成立 故直线方程为 + =1,即x+2y-4=0.,变式3-1 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点,则|PA|PB|的值最小时直线l的方程是_,答案:x+y-3=0 解析:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0),则A ,B(0,1-2k),|PA|PB|= = 4,,