数学物理方法概论课件教程文件

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1、数学物理方法概论,之（线性空间）,主讲教师：白璐 联系电话：15291456996 mailto:n ,第二章 线性空间,线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本质联系。,1、 线性空间； 2、 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量； 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11 、多项式逼近 12 、完备正交归一集的例子； 13、 正交多项式,第二

2、章 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,一、群,它满足以下三个公理：, 2 线性空间, 2.1 线性空间,例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为,定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。, 2 线性空间, 2.1 线性空间,二、域,域是满足以下三条公理的系统，记为,（1）系统 是一个具有单位元素0的Abel群； （2）设 是除 以外的所有 的集合， 则系统 是一个具有单位元素e的Abel群； （3）相对于，满足分配率，即, 2 线性空间, 2.1 线性空间,例：所有有理数

3、集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法都构成了域。,有了域的概念我们可以定义线性空间,（1）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（），使 构成Abel群。(单位元素用0表示，x的逆元素用x表示),结合律,交换律,零元素,负元素,满足：,三、线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。,（以上8个公式为线性空间的8个公理）,（2）在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对F中任意数 与V中任一元素 ,都可由该运算唯一决定V中的一个元素y, 记为 ,数乘满足：,左分配律,右分配律,结合律,数1的数乘, 2 线性空间, 2

4、.1 线性空间,例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数 为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法,其中：,向量数乘：,零向量：,的逆元：,可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为,例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,对于线性空间 有以下定理存在： 定理1：（1）当y和z已知时，方程 有唯一解x （2）如果 ，则 （3）对每一个 （4）对每一个 （5）如果 ，则 或 定理2：若把 定义为x和y之差，则有, 2 线性空间, 2.1 线性空间,设V是F上的线性空间，如果 （即 是

5、V中的某些向量的集合），且满足： （1）对任意的 （2）对任意的 则称 是V的线性子空间。 定理：在V(F)中任取一组向量 ，这组向量 的所有线性组合的集合 是V的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合 所张成 （生成）的子空间。,四、线性子空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,五、线性空间的基与维数 基：指线性空间V中的最大线性无关的子集。V中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。 维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。,例：实三维空间中的三个向量组成一组基,因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成

6、这三个向量的线性组合, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,解：在 中设有 阶矩阵 ，其中位于 的元素为1，其他元素为0。如 ，容易证明 是 的一组基，且线性无关，任何矩阵 均可由它们线性表示。 所以 又由于 ，所以A在该基下的坐标为：,例： 写出实数域R上矩阵空间 的一组基，求 ， 并求 在此基下的坐标。,六、线性空间的同构 （A）映射的定义：设S1和S2是两个非空集合，如果按照一定的法则f ，对于S1中的每个元素x，都存在S2中的一个确定的元素y与之对应，则称f为定义在S1上取值于S2中的一个映射，记为 ，y称为x在映射 f 下的像。,S1：, 2 线性空

7、间, 2.1 线性空间,f,S2,x,y,集S1称为映射f的定义域,集S2称为映射f 的值域,映射的种类：,满射、单射、双射,（B）线性空间的同构 设S=E, *和S= E , 是分别具有封闭运算*和的代数系统，假设f是一个从E到E 的双射，即一一映射，它给每个属于E的元a，b，c， E，都有指定的属于E 的元，f（a）， f（b）， f（c） ， E ，与之对应, 2 线性空间, 2.1 线性空间,E：,f,E,f(a),设a*b=c，则c f（c）=f（a*b）同构即要求,a,f(b),b,f,若a*b=c 则 f（a） f（b）=f（c）,线性空间同构的判定方法： 设U和V是同一数域F上

8、的两个线性空间，f是从U到V的一个映射，如果: （1）f是一个双射； （2）f是一个线性映射，即 则称f是U到V的同构映射，并说U与V同构。 定理：域F上每一个n维线性空间都和空间 同构。,（即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。）, 2 线性空间, 2.1 线性空间, 2 线性空间, 2.1 线性空间,同构的意义： 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。 同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求

9、这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即x*y=z f（x） f（y）=f（z）, 2 线性空间, 2.1 线性空间,例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述6个2X2矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。,例如AXB=F，,从右向左：把1换为3，再把3换为3， 1 3 3, 2 2 1 3 1 2，所以 对应刚好是置换F。, 2 线性空间, 2.1 线性空间,而A XB =F ，,刚好是置换F 。,一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个 系统便是同构的，或结构等同的。,定义：指在线性空间V(F)中变换A, 对每一个 有确定的向量 ，且对任意的 有 则称A为线

10、性变换也称线性算子。式中a，b为标量, 2 线性空间, 2.2 线性变换,一、线性变换的定义,线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。,即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变 换是把任意向量变换成自身的线性变换。, 2.2 线性变换,证明：,满足线性变换定义，得证。, 2 线性空间,例： 设 是 空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量 ，若变换 的定义为 则 是一个线性变换。, 2.2 线性变换, 2 线性空间, 2.2 线性变换, 2 线性空间, 2.2 线性变换,二、基本运算：,（1）变换加法： （2）变换数乘： （3）变换乘法：,其中 是线性变换， 是线性空间V

11、中的向量。,说明：（1）线性变换相乘一般不服从交换律。 （2）满足下述运算性质, 2 线性空间,三、线性变换的逆变换：,如果线性变换A满足： （1） （2） 则存在A的逆变换，记为 ，称A是可逆的。且,可逆性的判定定理：, 2.2 线性变换, 2 线性空间,四、线性变换的矩阵表示：,于是，当 已知时 即可完全确定。,定理1：设 是线性空间 的一组基，A是 上的一个线性变换，只要给出 的像向量 ，则A完全确定。,证明：只要证明对 中任一向量 ，其像向量 唯一确定即可。由于 是基，对 有, 2.2 线性变换, 2 线性空间,定理2：设 是 的一组基， 是 中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，

12、使,定理3：有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。,即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关运算法则对应, 2.2 线性变换, 2 线性空间,例：求Fxn的求导变换，在基1，x，x2，,xn-1下的矩阵。,解：因为,即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一一对应的关系。, 2.2 线性变换, 2 线性空间,所以,定理4：同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。 即：若存在可逆矩阵A，使矩阵B和C满足 则称B和C是相似矩阵。记,矩阵的相似是一种等价关系，具有：, 2.2

13、线性变换, 2 线性空间,例： 设A是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一矢量 绕 轴右旋一个角度 ,求此变换在Cartesian基下的矩阵。,解：这里我们用 表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空间的一组基。, 2.2 线性变换, 2 线性空间,因此变换A在基 下的矩阵表示为,根据A的定义：,定义：设A是V(F)上的线性变换，如果 则称 为A的本征值， 为A的属于 的本征向量。,上述条件也可以表示为：,不妨设有限维空间的基 , x可表示为：,又设A在此基下的矩阵为 ，则有, 2.3 线性变换的本征值与本征向量, 2 线性空间,即：,有非零解的条件是：,上式左边的行列式是 的n次多项式

14、。在复数域上有n个零点，即n维空间上的任何线性变换在复数域上必有n个本征值。另外，由于 ， 的秩必然小于n，所以每个本征值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选择无关。, 2.3 线性变换的本征值与本征向量, 2 线性空间,(1)线性变换A的本征值的集合称为A的谱，其中本征值的模的最大值称为谱半径。 (2)若 是A的本征多项式的k级零点，则说该本征值 的代数重数为k。当 时称A的谱是简并的。 (3)如果变换A有n个线性无关的本征向量（n为空间维数），则它的矩阵一定可以通过相似变换对角化，且对角元素为A的本征值。,说明：,注意：定理给出A的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充分条

15、件，并非必要条件。,定理：设 是线性变换A的两两相异的本征值，则相应地本征向量 线性无关。, 2.3 线性变换的本征值与本征向量, 2 线性空间,例： 下列矩阵是否与对角矩阵相似,解：,（1）,属于特征值 的与线性无关的特征向量有两个，因为此时, 2.3 线性变换的本征值与本征向量, 2 线性空间,秩：,，与线性无关的特征向量有312个,因此A一定可以与对角阵 相似。,秩： ，因此属于 的线性无关的特征向量只有,（2）,特征值分别为：,具有三不同的特征值即3个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。, 2.3 线性变换的本征值与本征向量, 2 线性空间,（3）,三个特征值,对 有,从而A一定不能与对角阵相似。,在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定义的，如果 则：,x 的长度,的夹角,作为标积的推广，可以引入内积的概念。, 2.4 内积空间, 2 线性空间,两个向量的标积, 2.4 内积空间,一、内积的定义,对于