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1、数学教改的几个论题,章建跃 010-58758320,一、如何理解“新理念”?,核心：以每一个学生的全面、和谐与可持续发展为本教育中的“科学发展观” 教学目标全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展数学育人。,如何落实？提高课堂教学立意,许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。 数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。 关键：提高思想性。 “技术”：加强“先行组织者”的使用。,例1 四边形的“先行组织者”,概括三角形中研究的问题、线索和基本方法
2、：定义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特殊等腰三角形，性质、判定）相似三角形（性质、判定） 目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。,特殊的平行四边形：角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。 研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识； 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形； 梯形,教学要求个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础 教学设计不仅从内容的教学需要预设提问、
3、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问” 教学方法讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性,学习方式接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合 教学过程知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性） 教学评价教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价发展的眼光 教学媒体
4、追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解,“新理念”新在对学生的全面关注上，但社会功利化导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段竭泽而渔。,二、怎样才算“教完了”？,让学生经历概念的发生发展过程“这样能教完吗？” 给学生吃“压缩饼干”： 基础知识“一个定义，三项注意”； 解题教学“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”。,问题在那里？,不“准”或者是没有围绕概念的核心，或者教错了； 不“简”在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了； 不“精”让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知
5、识的深入理解。,例2 “代数式”概念的一组练习,已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y1)的值； 已知a2+a1=0,则a2000+a1999 a1998= ； 已知 ，求 的值； 已知a:b=5:6，b:c=4:3，求 的值；,学生没有学比例式、分式、指数等概念，如何理解题意？！在代数式学习之初，要求学生用“变量代换”“整体”等思想方法解决问题，可能吗？ “教完了”应该以学生是否理解为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。 广种薄收是不负责任的，习题的针对性不强
6、是水平不高的表现。 忙=心亡。,三、怎样才是抓“基础”,我国“双基”的优势正在丧失； 现象：（1）数学教学题型教学刺激反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。,如何改变？,要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能； 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。 应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作
7、。,例3 关于“配方法”,概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a 依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2 步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数一半的平方。 “配方法”是基本而重要的，在“三个二次”中有广泛应用。,一元二次方程的求根公式,从最简单的开始：x 2=a；变式：(xp) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通过开方将方程“降次”）。 对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到化归为(xp) 2=q就能解的思想方法，并让学生独立思考获得用“配方法”推导出求根公式。 这里要让学生形
8、成一个“基本套路”：从特殊到一般，将复杂问题化归为简单问题，要注意化归的条件（完备性思维的严谨性）,二次函数y=ax2+bx+c的性质,沿用一元二次方程求根公式的“套路”，从最简单的y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(xh)2+k ，最后到y=ax2+bx+c。 思想方法：“化归”到前一种情况。 研究工具：配方法。 研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等。,“配方法”的灵活应用,“配方” “完全平方式”非负性 例：（1）无论m取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有两个不等实根。判别式是不等于0的“完全平方式”。 （2）已知x2+4y22x+4y+2=
9、0，求x，y的值。一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归的方法是“配方得到完全平方式”。 ,四、探究式教学的天时地利人和,天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”； 地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；,例4 不适宜于探究的内容举例,概念名称，如“有理数”“无理数”“补角” “余角”等； 定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等； 数学符号，如判别式，全等，相似； 某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解意义，会证明，能应用； 为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进
10、行分类？,例5 适宜探究的内容举例,实数运算律从具体到抽象，归纳得出； 乘法公式，平方差公式、完全平方公式等； 各种几何性质原则上都是可以探究的； ,例6 等腰三角形的性质,先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。,问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？性质与判定 问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入
11、手？角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。 问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。,从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？ “剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？ 上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。 对特殊的等腰三角形等边三角形，有什么相应的特殊结论？,人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有
12、赖于教师的“探究型教学的意识”。 探究过程需要精心设计围绕核心的定向探究；数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导注意使用“先行组织者”。,“我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”学习是知与行的统一，只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动”与“行动”的融合。生源越差越要精心组织学生的探究活动，如何铺设探究的台阶是对教师的考验。,例7 “找规律”,平面上的n条直线至多可以有多少个交点。 归纳推理过程分析：n=2，1个交点；n=3，第3条直线与前2条直线各有一个交点，增加2个，为1+2；n=4时，第4条直线，增加3个，为1 + 2 + 3；n条直线至多1+2+
13、（n1）。 难点：（1）归纳思想不是自然产生的；（2）保留中间值以便观察规律的技能不容易；（3）1+2+（n1）的意义难理解。 结论：这个题目不适合初中。,五、概念教学的要义是什么？,概念教学的核心概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念； “举一反三”与“举三反一”的关系： （1）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性举三反一；,（2）类化：把共同本质属性推广到同类事物中举一反三； （3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。 对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要
14、步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。,概念教学的基本环节,典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”建立与相关概念的联系。,例8 无理数概念的教学,六、如何理解循序渐进、螺旋上升？,螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据； 螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但平面几何的螺旋不应该是“先实验几何，论证下次再说”；,“螺旋
15、式”可能产生的问题是重复学习，例如统计与概率的不适当重复问题； 重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”“隐性知识”，“可以意会不可言传”，要经历“渗透概括应用”的学习阶段。,例9 概念的多元联系表示中体现的螺旋上升,比例关系： 算术比和比例、百分数、比例尺； 代数各种“率”，实际问题； 平面几何线段比和比例、相似形等； 解析几何斜率、线性方程； 统计与概率统计图表、频率与概率。 当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。,七、“不是教教材，是用教材教”？,现象：脱离教材，大量使用教辅； 原因：教材内容“简单”，不足以应付中考；对
16、“不是教教材，而是用教材教”、“创造性使用教材”的意图有误解；有的教师不善于或不愿意花大力气研究教材。,我的看法,“不是教教材，而是用教材教”“脱离教材”，是针对“照本宣科”的； 教材的“基础性”与中考的“选拔性”有目标差异，但学好教材一定是中考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。,理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。 课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。 教辅资料不能作为教学依据；布置教辅资料上的题目时，教师自己应该先做一遍，题目不配套时，对学生学习会有大干扰。,例10 锐角三角函数概念概括过程的设计,目的：解直角三角形 课题的引入：从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系）。 定性考察：从直角三角形全等的判定可知，Rt中，除直角外，任意给两
