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1、,数形结合思想,万金圣 南莫中学,2006年高考辅导讲座,数形结合思想,复习目标,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。,数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果。,运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、填空中更显优越。,数形结合思想应用,（一）利用函数的图象性质解题,（二）利用曲线方程的图象性质解题,（三）利用几何图形的性质解题
2、,一.利用函数的图象性质解题,y=x2,y=2x,y=log2x,.1,.1,x=0.3,C,解析：如图作出下列三个 函数图象：,由比较三个函数图象与直线x=0.3 的交点的位置关系可得结论,y=2-x,y=-x2+,.1,C,一.利用函数的图象性质解题,例3方程2-x+x2= 的实数解的个数为（ ）,解析：求原方程的解的个数等价 于求两线交点的个数。,如图所示：两线交于两点A，B 所以原方程解的个数为2个。,例4若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数 k的取值范围,. 1,y=(x+1)2 (x-1),一.利用函数的图象性质解题,k|k=4或k0,解析：方程lg(kx)=
3、2lg(x+1)的解 等价于两线交点,显然当直线y=kx(y0)介于切线 于直线y=kx(y=0)之间时，两线只 有一个交点。,当直线处于切线位置时，k=4 （由上述方程组可得）,所以，的取值范围为k=4或k0,如图：,(二)利用曲线方程的图象性质解题,解：上述不等式等价于,由图可知，解出交点A的横标： x0= ，则上述不等式的 解集为：,x|-3 x ,如图：,2、设函数 其中 a 0 ，解不等式f (x)1,分析：要解不等式 1 即 1+ax,进而转化为y= 与y=1+ax两函 数图象关系。只要求使y=1+ax图象在 y= 上方的自变量x取值范围。,(二)利用曲线方程的图象性质解题,2设函
4、数 ， 其中 a 0解不等式f (x)1,x,y,o,y= ax+1,当a 1时，x0；,当0a 1时，0 xx0,x0,即：0 x,(二)利用曲线方程的图象性质解题,3若函数 在区间 a , b 上的最小值为2a，最大值为2b，求a , b ,x,y,o,3若函数 在区间 a , b 上的最小值为2a，最大值为2b，求a , b ,a,b,b,a,x,x,y,y,b,b,a,a,x,x,y,y,b,a,x,y,b,a,x,y,f(0)=2b f(a)=2a,f(b)=2b f(a)=2a,无解,a,b,x,y,b,a,x,y,f(0)=2b f(b)=2a,f(a)=2b f(b)=2a,a
5、=1 b=3,无解,(三)利用几何图形的性质解题,例1已知定义在区间-2，2上的偶函数f(x)，它在0，2上的解析式为 ，则不等式 的解集为。,-2,2,1,解： 原不等式可化为 。如图,例2 设P(x0,y0)是椭圆 上任一点，F2为椭圆的右,(三)利用几何图形的性质解题,解：如图：,取PF2中点M，连OM、F1P,分析：欲证两圆内切，只证两圆心距等于半径差即可。,所以两圆相内切。,焦点，求证分别以PF2及椭圆长轴为直径的两圆必内切。,(三)利用几何图形的性质解题,x2=2py,(1)解：如图：,FBB1B,连A1F，B1F，由定义，, 1 2， 3 4，,FAA1A,A B1800,又A1
6、8002 2,B18002 4,A B36002（ 2 4）1800, 2 4900， A1FB1900,A1FB1F,(三)利用几何图形的性质解题,x2=2py,(2)解：设A(2ph1,2ph12),B (2ph2,2ph22),(h10),直线AB方程为：,y-2ph12=(h1+h2)(x-2ph1),(三)利用几何图形的性质解题,x2=2py,4、集合M=(x,y)|x=3cos,y=3sin,0 , N= (x,y)| y= x + b,若MN= 则b满足 。,分析： 点集M表示的图形是半圆，点集N表示的图形为直线，它随b值变化位置不断变化。 本题即转化为b取何值时，两图形没有公共
7、点,由图形变化可得结论。,x,y,o,y=x+b,b1,b2,故有：bb2或bb1,即b3 或b-3,问题：b取何值时，MN分别 有两个子集；四个子集。,b3,L1,L2,L3,如图,5、若 均为锐角，且满足: + + =1 求证：tan tan tan,分析：条件中的式子在什么图形中出现过？,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,故有： tan = tan = tan =,（长方体）,b,c,a,=,tan tan tan =,=,课堂小结,（一）利用函数图象性质解题,（二）利用曲线方程图象的性质解题,（三）利用几何图形的性质解题,本节主要讨论了利用数形结合思想来解决一些抽象数学问题的题型和方法：,数形结合的重点在于“以形助数”，通过“以形助数”使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。,
