6.1 实二次型及其标准形,一、二次型及其矩阵,二、合同变换,三、用配方法化二次型为标准形,四、用正交变换化二次型为标准形,返回,一、二次型及其矩阵,称为 n 元二次型.,若aij 为实数，则称为实二次型.,若aij 为复数，则称为复二次型.,则 f (x1, , xn) = X TAX. A T = A,A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵.,例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3,A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵,若令,则有,f (x1, x2 , x3) = XTBX,但 BT B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵,二次型,也记为 f (X) = X TAX. (AT = A),二次型 f (X)的秩：A 的秩.,在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵,R(A) = 3 ,,故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .,二、合同变换,1. 矩阵合同,定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使,C TAC = B,,则称 A与 B合同.,矩阵合同具有以下性质：,(1) 反身性：矩阵A与自身合同；,(2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同；,(3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同.,A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆；,A与B相似：P -1AP = B , P 可逆；,请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？,2. 合同变换,(1)式称为从 y1, , yn 到 x1, , xn 的线性变换.,令,则(1)式可记为,X = C Y (2),若C 为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换，,若C 为正交矩阵，则(2)式称为正交变换.,当C 可逆时，(2)式又可记为,Y = C -1 X (3),对于二次型 f (X) = X TAX，若令X = CY (C可逆),则,f (X) = (CY)TA(CY) = YT (CTAC)Y.,记 B = CTAC , 则 B T = B, 且,f (X) = YTBY = g(Y).,二次型 f (X)与 g(Y) 的矩阵 A与B合同.,也称二次型 f (X)与 g(Y) 合同.,称X = CY (C可逆)为合同变换.,三、用配方法化二次型为标准形,只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + +dr yr2 (di 0)称为标准形.,定理1 任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化为标准形.,f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3,=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3,=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32,=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32,则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32,例2 用配方法化二次型为标准形,即,(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换.,(2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换.,(1)与(2)所表达的x1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的.,例3 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3,令,则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3,= 2(y12 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3,= 2(y1 y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32,= 2(y1 y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32,= 2z12 2 z22 + 6z32,上式最后一步使用的变换是,则, f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32,将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：,d1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2,得 f (X) = X TAX 的另一种形式为,z12 + + zp2 zp+12 - - zr2,称为规范形.,定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.,p: 正惯性指数；,r - p: 负正惯性指数；,|r - 2p|: 符号差.,z12 + + zp2 zp+12 - - zr2,四、用正交变换化二次型为标准形,定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 其中 1 ，2 ，，n是A 的特征值.,证,因A 为n 阶实对称矩阵，,所以存在正交矩阵C , 使,CTAC = C-1AC = diag (1 ，2 ，，n),令 X = CY , 则,f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2,例4 用正交变换化二次型为标准形,f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3,解,f (x1, x2 , x3)的矩阵,特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7，,求1= 2 的特征向量：,x1 + 2x2 - 2x3 = 0,特征向量：1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T,将1, 2 正交化：,1 = 1 = (-2, 1, 0)T ,,求1= -7 的特征向量：,3 = (1, 2, 2)T ,,将 1, 2 , 3 单位化：,X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T,则 X = CY 为正交变换，且,f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32,。