《大学物理薛定谔方程(老师课件)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理薛定谔方程(老师课件)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、薛定谔方程,第27章,薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖,有了德布洛意提出的物质波， 就应有一个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。,1 薛定谔方程,1926年，在一次学术讨论会上，当年轻的薛定谔介绍完德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。,几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方程，就是著名的薛定谔方程。,薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量
2、子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。,同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。,由自由粒子波函数,微分，得,由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子,这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。,得,一、自由粒子的薛定谔方程,？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动,二、在势场中运动粒子的薛定谔方程 在一维势场 U(x,t) 中的粒子,替换原来的 E 后得到 ,推广到三维：,一般的薛定谔方程：,由自由粒子波函数,微分，得,由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子,这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。,得,
3、一、自由粒子的薛定谔方程,？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动,用分离变量法：,将波函数写成,即 时，,当势能与时间无关，,三、定态薛定谔方程,代入薛定谔方程可得：,该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。,定态波函数,振动因子,数学上：E 不论取何值，方程都有解。,物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。,这些特定的E值称为能量本征值,各E值对应的 叫能量本征函数 本征波函数,故该方程又称为：能量本征值方程,定态波函数:,波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件 1.标准条件：单值、有限、连续 因为，粒子的概率在任何地方只能有一个
4、值； 不可能无限大；不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l,*在量子力学中用 薛定谔方程式加上波函数的物理条件 求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度 等),1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数 U(x) 2.代入定态薛定谔方程 3.解方程 4.解出能量本征值和相应的本征函数 5.求出概率密度分布及其他力学量,量子力学解题的一般思路：,是实际情况的极端化和简化,0,x,U(x)=0,U= ,a,势函数,U= ,一、一维无限深方形势阱, 2 无限深方势阱中的粒子,粒子在0 x a范围内自由运动，但不能到达x 0或x a范围。,1.
5、 定态薛定谔方程 阱外：,阱内：,根据波函数有限,阱外:,2. 求通解,二、薛定谔方程和波函数,令,阱内:,则：,其通解为,3. 由波函数的标准化条件定特解,(1),解的形式成为,通解为,处应,已有A=0，要求,，只能 sinka 等于零,即,(2),又,单值、有限条件已满足；由连续条件定特解：,1 ) 粒子能量只能取特定的分立值 (能级) 能量量子化 2 )最低能量不为零 波粒二象性的必然结果,零点能,3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续,(3)定常数 B 由波函数的归一化性质,得,于是，波函数(空间部分),阱内,阱外,考虑到振动因子,是以x = 0 和x = a为节点的一系列驻波解。,4.
6、定态波函数(包括空间、时间部分),5. 概率密度,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,粒子在阱中各处出现的概率密度不均匀,量子经典,有限深势阱中粒子的概率密度,n=1,n=2,n=3,O,a,x,粒子在阱外不远处出现的概率不为零！从经典理论很难想象，但实验已证实了这种量子效应。,？,3 势垒穿透-量子隧穿效应,两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒,从势垒左方射入的粒子，在各区域内的波函数：,隧道效应,粒子从x = - 处以确定能量E入射,2.隧道效应,粒子的能量虽不足以超越势垒 ,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入 的区域 , 所以形象地称之为势垒穿透或隧道效应 。,隧
7、道效应的本质: 源于微观粒子的波粒二象性,量子物理：粒子有波动性遵从不确定原理只要势垒宽度x = a不是无限大粒子能量就有不确定量E,x = a很小时 P和E很大,经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的, 如何理解？,经典 量子,隧道效应,扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）,STM 是一项技术上的重大发明 用于观察材料表面的微观结构（不接触、不破坏样品）,3. 隧道效应的应用,隧道二极管 金属场致发射 核的衰变,通过扫描可观测固体表面的微观结构. 探针头还可吸附并搬动原子，形成人工微结构.,应用：STM(扫描隧道显微镜1982年),1986
8、年获诺贝尔物理学奖,某种型号的扫描隧道显微镜,原子搬迁：操纵原子不是梦 “原子书法”,1994年中国科学院科学家“写”出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和分子的观察与操纵” - 白春礼 插页彩图13,硅单晶表面直接提走硅原子形成2纳米的线条,镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片,Fe原子间距：0.95 nm，,圆圈平均半径：7.13 nm,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,“扫描隧道绘画”,一氧化碳“分子人” “原子和分子的观察与操纵” - 白春礼 P.151 图7-8,CO分子竖在铂片上 分子人高5nm,用STM得到的神经细胞象,硅表面STM扫描图象,4 谐振子,1. 势函数,m 振子质量， 固有频率，x 位移,2. 定态薛定谔方程,3. 能量本征值,谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。,4.能量特点：,(1)量子化 等间距,符合不确定关系,概率分布特点: E U 区有隧道效应,(2)有零点能,
