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1、河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则复数=（ ）A B C D2. 设，那么等于（ ）A B C D3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A2 B C D1 4.定义的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）A B C. D5.设在可导，则等于（ ）A B C. D6.已知是关
2、于的方程的一个根，则（ ）A-1 B1 C.-3 D37.以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）A B C. D8.在下列命题中，正确命题的个数是（ ）两个复数不能比较大小；复数对应的点在第四象限；若是纯虚数，则实数；若，则.A0 B1 C.2 D39.已知函数，则其导函数的图象大致是（ ）A B C. D10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：护士不少于医生；男医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）A男护士 B女
3、护士 C.男医生 D女医生11.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）A在直线上 B在直线上 C.在直线上 D在直线上12.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）A9 B10 C.11 D12第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第 象限14.已知函数的导函数为，且满足关
4、系式，则的值等于 15.我们知道，在边长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 16.二维空间中圆的一维测量（周长），二维测量（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度= 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求下列函数的导数.（1）； （2）； （3）.18. 为何实数时，复数满足下列要求：（1）是纯虚数；（2）在复平面内对应的点在第二象限；（3）在复平面内对应的点在直线上.19. 设函数且.（1）试用反证法证明：；（2）证明：.20. 若存在
5、过点的直线与曲线和都相切，求实数的值.21. 设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.22.已知数列的前项和（为正整数）.（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，试比较与的大小，并予以证明.试卷答案一、选择题1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD二、填空题13.二 14. 15. 16. 三、解答题17.（1）.（2）因为，所以.（3）函数看作和的复合复数，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为.18.（1）.，得，即时，是纯虚数.（2）由，得，即时，在复平面
6、内对应的点在第二象限.（3）由，得，即时，在复平面内对应的点在直线上.19.（1）假设，将上述不等式相加得，这与矛盾，假设不成立，.（2），.20.设直线与曲线的切点坐标为，则，则切线的斜率或，若，此时切线的方程为，由，消去，可得，其中，即，解可得；若，其切线方程为，由，消去可得，又由，即，解可得.故或.21.（1）方程可化为.当时，.又，于是，解得，故.（2）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即.令得，从而得切线与直线的交点坐标为.令得，从而得切线与直线的交点坐标为.所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为.故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，此定值为6.22.（1）在中，令，可得，即.当时，即，即当时，.又，数列是首项和公差均为1的等差数列，于是.（2）由（1）得，所以，得，.，于是确定与的大小关系等价于比较与的大小.猜想：当时，.证明如下：证法1：（1）当时，由猜想显然成立.（2）假设时猜想成立，即.则时，所以当时猜想也成立.综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有.证法2: 当时,，综上所述，当时，；当时，.- 8 - / 8
