疲劳与断裂3课件教学讲义

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1、1,第三章 疲劳应用统计学基础,3.1 疲劳数据的分散性,3.2 正态分布,3.3 威布尔分布,3.4 二元线性回归分析,3.5 S-N曲线和P-S-N曲 线的拟合,返回主目录,2,第三章 疲劳应用统计学基础,3.1 疲劳数据的分散性,1) 实验： 7075-T6铝 R=-1,恒幅,Sinclair和Dolan,1953.,应力水平越低，寿命越长，分散性越大。,3,207MPa下 57件，寿命: 2106 108次； 240MPa下 29件，寿命: 7105 4106次 275MPa下 34件，寿命：1105 8105次 310MPa下 29件，寿命：4104 1105次 430MPa下 25

2、件，寿命：1.51042104次。,分散性：共174件,4,Duo to the random nature of fatigue process, the life of components and structures cannot be predicted by using conventional deterministic approaches. For an accurate fatigue life prediction only probability-based models can be used in engineering design and systems ana

3、lysis.,由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿命不能用传统的确定性方法预测。在工程设计和系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概率为基础的方法。,6,3.2 正态分布,对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。 令X=lgN, X 即服从正态分布。,一、正态分布的密度函数和分布函数,是均值；f (x)关于x=对称 为标准差，是非负的。,7,越小， f ()越大，曲线越瘦，X的分散性越小。 故标准差反映X的分散性。,(1) f(x)0 ; 随机变量X取值的可能性非负。,密度函数性质：(无论分布形式如何),8,正态概率分布函数 F(x)为：,F(x)是X小于等于x的概率, 是f(x)在x

4、左边的面积。,显然: Pr(Xx)=1-F(x) F()=,9,二、 标准正态分布,令, 即有：,注意 dx=du, 由密度函数变换公式可得到 标准正态分布密度函数为： ( -u ),u服从均值 =0、标准差 =1的正态分布。,标准正态分布函数则为：,10,u0或(u)0.5，利用(-u)=1-(u)的关系求解。,注意有： (0)=0.5 ； (-u)=1-(u)； Pr(aub)=(b)-(a),u(u)关系，还可用近似表达式表达，如：,且由 ，还有： F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=(u) 故求正态分布函数F(x)，只需求得(u)即可。,11,分布参数估计： 设在某 si下，样本含n

5、个疲劳寿命数据 xi=lgNi；,破坏概率为p的对数疲劳寿命xp为：,三、给定疲劳寿命下的破坏概率估计,则样本均值为：,样本方差s2为：,标准差s是偏差(xi- )2的度量，反映分散性大小。只有(n-1)个偏差独立。,up可由p确定。 存活概率R=1-p。,12,3) 存活率为99.9%的寿命： xp=2.1674-3.090.05=2.013 R=99.9%的安全寿命为： Np=lg-1xp=103 (千周),例3.1 在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数 据Ni。试确定存活率为99.9%的安全寿命N。,解：将Ni从小到大排列； 1)计算样本均值和标准差；,=2.1674 s=0.05；

6、(n=10),2) 确定标准正态偏量up。 p=1-R=0.001=0.1% 查表3.1得：up=-3.09,13,若=95%，意味着100个样本估计的xp中，有95个小于xp(g)。即有95%的把握认为估计量小于真值。,四、置信水平,估计量Np= +ups，若大于真值+up，偏于危险。,置信度 ：估计量小于真值的概率。,破坏率p，置信度的对数寿命写为：,若u=0, 有k=up，则xp(g)= +ups；=50%。,14,五、 正态概率纸,问题：X是否服从正态分布？,已知：xF(x)关系： 非线性 xu 关系： 线性 F(x)=(u) u：一一对应 能否作出 xF(x) 呈线性关系的坐标纸？,

7、先画x-u坐标，即若随机变量X服从正态分布，则有线性关系；再按u-(u)关系，依据u标定F(x)，则线性关系不变。 若X服从正态分布，F(x)-x在概率纸上呈线性。,15,利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布，需xiF(xi)数据描点，由其是否线性作出判断。,F(xi)是对数寿命X小于xi的概率，即破坏概率。 其均秩估计量为： F(xi)=pi=i/(n+1) 无论X服从何种分布，此式均适用。,例3.1之xiF(xi)数据如表所列，可在正态概率纸上描点，观察是否呈线性，判断X是否服从正态分布。,16,样本标准差s？ 利用p=15.87时，up=-1； 由图得到：xp=2.114；,例3

8、.1之数据描点如图。,注意：用s=ctgq估计标准差时，必须x、u的坐标标定一致。,可知：X是否服从正态分布？,均值？(与50%破坏率对应) =2.167,由xp= +ups；有： s=(xp- )/up= -xp =2.167-2.114=0.053,17,分析计算框图：,疲劳试验 R、S给定,18,寿命有大于零的下限, 正态分布不能反映。,3.3 威布尔分布 Weibull 1951,一、密度函数和分布函数,1. 密度函数定义为： ( NN0 ),指数,Reyleigh,正态分布,19,N=N0，F(N0)=0，即寿命小于N0的概率为零； N=Na，F(Na)=1-1/e=0.632，Na

9、称特征寿命参数。,2. 分布函数：,F(N)-寿命小于等于 N的概率。,令 x=(N-N0)/(Na-N0), 则有 dN=(Na-N0)dx, 可得：,注意 F(N)=F(x), 故得Weibull分布函数F(N)为：,20,变量 lglg1-F(N)-1lg(N-N0) 间有线性关系； 或 lg1-F(N)-1(N-N0) 间有对数线性关系。 B 是直线的斜率，称斜率参数。,将分布函数式改写为：,取二次对数后得到：,3. 二参数威布尔分布函数,21,能否作出威布尔概率纸？ N-F(N)，非线性关 系； lglg1-F(N)-1-lg(N-N0)，线性 lglg1-F(N)-1-F(N)，一

10、一对应,二、分布参数的图解估计,二个问题： N是否服从威布尔分布？ 如何确定其分布参数？,结论：可作威布尔概率纸。 若N服从威布尔分布，概率纸上lg(N-N0)-F(N)应有线性关系。,22,解：1）Ni排序, 估计F(Ni) 2）估计下限: 0N0N1,例3.2 二组疲劳寿命数据如表。判断其是否 服从威布尔分布并估计分布参数。,B,B：N0=N1/2=2105,A、B：N0=0,23,注意 F(N)=0.9时，lglg1-F(N90)-1=0, 有：,Na对应的破坏概率为63.2%。,3) 估计分布参数Na和b。,如A：N90-N0=23.5105, Na-N0=11.5105。 有： b=

11、0.3622/lg(23.5/11.5)=1.17,A组： Na-N0=11.5105, 因为N0=0，Na=11.5105； B组：Na-N0=6.8105, N0=2105，Na=8.8105。,24,对于给定应力水平的一组寿命数据Ni，估计其对应的破坏概率F(Ni), 在威布尔概率纸上描点，即可判断其是否服从威布尔并估计分布参数。,25,框图：,疲劳试验 R、S给定,26,习题：3-2，3-5b) (取N0=50 千周),再 见,再 见,再 见,再 见,再见！,谢谢！,第一次课完请继续第二次课,返回主目录,27,第三章 疲劳应用统计学基础,3.1 疲劳数据的分散性,3.2 正态分布,3.

12、3 威布尔分布,3.4 二元线性回归分析,3.5 S-N曲线和P-S-N曲 线的拟合,返回主目录,28,确定性关系-对变量X的每一确定值，变量Y都 有可以预测的一个或几个确定的值与之对应， 如，圆周长L=D的确定性关系。,3.4 二元线性回归分析,二个问题：一组数据点是否呈线性？ 若呈线性，用什么样的直线描述？,一、相关关系和回归方程,相关关系-变量X取某定值时，变量Y并无确定 的值与之对应，与之对应的是某唯一确定的概 率分布及其特征数，如S-N关系。,29,回归分析的主要任务是： 确定回归方程的形式及回归系数；检验回归方程的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断。,设X、Y间存在着相关关系。

13、 X=x时，Y的数学期望E(Y/X=x)是x的函数，即： E(Y/X=x)=f(x),30,二、最小二乘法拟合回归方程,获取数据样本 (xi, yi) n对,31,32,三、相关系数及相关关系的检验,相关系数r定义为：,33,偏差平方和为：,34,相关系数的几何意义:,35,回归方程能否反映随机变量间的相关关系？,36,四、利用回归方程进行统计推断,37,获取样 本数据 (xi,yi) 共n对,下面通过一例题，进一步了解其分析步骤。,五、 二元线性回归分析的基本方法：,38,例3.3 表中为某材料在R=0.1下的疲劳试验结果， 试估计其S-N曲线。,解：S-N曲线为 SmN=C; 取对数后有：

14、 lgS=lgC/m-(1/m)lgN;,令 y=lgS, x=lgN, 回归方程可写为： y=A+Bx 其中： A=lgC/m, B=-(1/m), 21.6063 8.7478 117.3001 19.1613 47.1351,yi=lgSai 2.2989 2.2201 2.1498 2.0799,xi=lgNi 4.97375.16635.4746 5.9917,xi2 24.7377 26.6907 29.9712 35.9005,yi2 5.2849 4.9288 4.6216 4.3260,xiyi 11.4340 11.4697 11.7693 12.4621,39,40,破坏

15、率为1%时，up=-2.326, 即有： y=A+Bx-2.326s=3.2362-0.2054x 破坏率为1%的S-N曲线为： (p=0.01),要估计破坏率为1%的S-N曲线，需先计算样本剩余标准差s。此处有： s=(Lyy-B2Lxx)/(n-2)1/2=0.0263,41,例3.4 试用最小二乘法进行回归分析，估计例3.2 中B组数据的分布参数。,42,43,2)设寿命N服从威布尔分布，有：,回归方程写为： Y=A+BX 时， 有： Y=lglg1-F(N)-1； X=lg(N-N0)； 系数： A=lglge-blg(Na-N0)； B=b,44,故威布尔分布参数: b=B=1.7196 , Na=lg-1(lglge-A)/b+N0=8.84105。,注意：对于本例，威布尔分布给出比正态分布更好的拟合精度，即更大的r值。,45,3.5 S-N曲线和P-S-N曲线的拟合,实验得到： Ly12铝合金板材， 在Smax为199、166、141.2、120.2 Mpa 四种应力水平下的疲劳试验结果 x=lgN， 循环应力比R=0.1,S-N曲线和P-S-N曲线拟合计算实例,试用最小二乘法拟合S-N曲线和P-S-N曲线。,46,4