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1、第二篇 材料力学 模块四 轴向拉伸与压缩,任务1 轴向拉伸、压缩及工程实例 任务2 轴力和轴力图 任务3 轴向拉伸和压缩时截面上的应力 任务4 轴向拉伸杆的变形 任务5 材料在轴向载荷作用下的力学性能 任务6 轴向拉伸杆的强度计算 任务7 轴向拉伸杆的静不定问题,目 录,拉压,拉压,任务1 轴向拉伸、压缩及工程实例,一、概念,轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,拉压,杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图 a)所示的悬臂吊
2、车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力作用，如图 b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图 c)所示。,拉压,二、工程实例,拉压,拉压,一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,任务2 轴力和轴力图,拉压,二、截面法 轴力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1. 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开
3、面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。,拉压,2. 轴力轴向拉压杆的内力，用N 表示。,例如： 截面法求N。,截开：,代替：,平衡：, 反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。,拉压,三、轴力图 N (x) 的图象表示,3. 轴力的正负规定:,N 与外法线同向，为正轴力(拉力),N与外法线反向，为负轴力(压力),N,x,P,意义,拉压,例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P和 P 的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列
4、平衡方程,拉压,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3P N3= 5P N4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,拉压,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,轴力图的特点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,拉压,解：x坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x段为对象，内力N(x)为：,q,q L,x,O,例2 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,L,q(x),N,x,O,例3 一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示，试求杆件横截面l-
5、l、2-2、3-3上的轴力，并作轴力图。,拉压,拉压,一、应力的概念,任务3 轴向拉伸和压缩时截面上的应力,问题提出：,1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度： 内力在截面的分布集度应力； 材料承受荷载的能力。,1. 定义：由外力引起的内力集度。,拉压,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。, 平均应力：, 全应力（总应力）：,2. 应力的表示：,拉压, 全应力分解为：,a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；,b.位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stres
6、s)。,拉压,变形前,1. 变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。,受载后,二、拉（压）杆横截面上的应力,拉压,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。,2. 拉伸应力：,轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。,3. 危险截面及最大工作应力：,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变： 单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,任务4 轴向拉伸杆的变形,拉压,4、x 点处的纵向线应变：,6、x 点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,拉压,L1,二、拉压杆的弹性定律
7、,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,EA 称为杆的抗拉压刚度。,拉压,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比（或横向变形系数）,拉压,拉压,例5 如图a)所示的阶梯杆，已知横截面面积AABABC400 mm2，ACD200 mm2，弹性模量E200 GPa，受力情况为FP130 kN，FP210 kN，各段长度如图a)所示。试求杆的总变形。,拉压,解 (1) 作轴力图 杆的轴力图如图b)所示。 (2)计算杆的变形 应用胡克定律分别求出各段杆的变形 杆的总变形等于各段变形之和 计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。,1、怎样画小变形放大图？,变形图
8、严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图1；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例6 小变形放大图与位移的求法。,拉压,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,拉压,解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：,图 2,例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm 的 钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求钢索内的应力和 C点的垂直位移。设钢索的 E =177GPa。,解：方法：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为研究对象,2) 钢索的应力和伸长分别为：,拉压,拉压,D,3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：,任务5 材料在轴向载荷作用下的力学性能,一、试验
9、条件及试验仪器,1、试验条件：常温(20)；静载（极其缓慢地加载）； 标准试件。,拉压,力学性质：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。,2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。,拉压,拉压,二、低碳钢试件的拉伸图(P- L图),三、低碳钢试件的应力-应变曲线( - 图),拉压,(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段),1、op - 比例段: p - 比例极限,2、pe -曲线段: e - 弹性极限,拉压,(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段),e s -屈服段: s -屈服极限,滑移线：,塑性材料的失效应力:s 。,拉压,、卸载定律：,、-强度极限,、冷作硬
10、化：,(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 ( 段),拉压,1、延伸率:,2、面缩率：,3、脆性、塑性及相对性,(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段),拉压,四、无明显屈服现象的塑性材料,0.2,s 0.2,名义屈服应力: 0.2 ，即此类材料的失效应力。,五、铸铁拉伸时的机械性能,L -铸铁拉伸强度极限（失效应力）,拉压,六、材料压缩时的机械性能,拉压,拉压,y-铸铁压缩强度极限； y（46）L,n1,拉压,1、许用应力：,2、极限应力：,3、安全因数：,任务6 轴向拉伸杆的强度计算,保证构件不发生强度破坏，并有一定安全余量的条件准则。,4、强度条件：,其中：许用应力， max危险点的
11、最大工作应力。, 设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：, 校核强度：, 许可载荷：,拉压,拉压,例8 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。,解： 轴力：N = P =25kN, 应力：, 强度校核：, 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。,拉压,例9 简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径d20 mm的钢材，载荷W=15 kN。 求当W移到A点时，斜杆AB横截面 应力(两杆的自重不计)。,解 (1) 受力分析 当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其值为Fmax。取A点为分离体，在不计杆件自重
12、及连接处的摩擦时，A点受力如图 b)、c)所示。,根据平衡方程,MC=0， 解得 由三角形ABC求出 故有,拉压,(2)求应力 斜杆AB横截面正应力为,拉压,拉压,例10 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。,拉压,钢拉杆,8.5m,4.2m,RA,RB,HA,拉压, 应力：, 强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。, 局部平衡求 轴力：,HC,任务7 轴向拉伸杆的静不定问题,一、超静定问题： 单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,拉
13、压,二、超静定问题的处理方法： 平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。,例13 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,拉压,解：、平衡方程:,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,拉压,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,拉压,三、静不定问题的处理方法步骤：,例14 木制短
14、柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,拉压,P,P,y,4N1,N2,P,P,y,4N1,N2,拉压, 解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷： 方法1:,角钢截面面积由型钢表查得: A1=3.086cm2,所以在1=2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的面积变为25mm2，又怎样？ 结构的最大载荷永远由钢控制着。,拉压
15、,方法2:,一、轴向拉压杆的内力及轴力图,1、轴力的表示?,2、轴力的求法?,3、轴力的正负规定?,为什么画轴力图?画轴力图应注意什么?,4、轴力图：N=N(x)的图象表示?,拉压,本章小结,例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着5P、8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,A,B,C,D,O,2P,拉压,应力的正负规定?,1、横截面上的应力:,二、拉压杆的应力,危险截面及最大工作应力?,2、拉压杆斜截面上的应力,应力集中?,拉压,三、强度设计准则（Strength Design Criterion）：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 设计载荷：,拉压,1、等轴力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,3、单向应力状态下的弹性定律,四、拉压杆的变形及应变,拉压,4、泊松比（或横向变形系数）,5、小变形放大图与位移的求法,3、卸载定律；冷作硬化；冷拉时效。,1,、弹性定律,4、延伸率,5、面缩率,五、 材
