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1、例. 非均匀分布立体的质量,设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度 的体积.,若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M .,设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.,第二节三重积分,一、三重积分的概念及性质,(i) 将分成 n 个小立体 1, 2, n ,记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, , n.,由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在i上 (x , y , z) 的变化不大. 可近似看作不变.,(ii) 即, ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作为
2、i 的体密度. 从而, i的质量,mi ( i , i , i) V i,(iii) 因此, 的质量,(iv),设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上的有界函数.,将任意分成 n 个无公共内点的小区域 i, (i =1, 2, , n), 用Vi表示i的体积. 并记,如果对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式,则称 f (x, y, z)在,上可积, 记为f (x, y, z)R(),定义1,三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加性
3、; 积分的保号性; 积分中值定理等.,1.直角坐标系下三重积分的计算.,类似于二重积分, 三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).,设是R3中一母线平行于z 轴, 上, 下底分别为 z = z2(x, y), z = z1(x, y)的柱体. 在xy面上的投影区域记为Dxy .,如图,二、三重积分的计算,则,为x型区域),y=y1(x),y=y2(x),即为y型区域.,则,应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面. 确定最里层积分上, 下限.,然后到Dxy上作二重,口诀:从里到外, 面面, 线线, 点点.,积分.,注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴, 它在xz面
4、上的投影区域为Dxz,则可选择先对 y 积分, 然后到Dxz上作二重积分.,2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x 轴, 它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先对x 积分, 然后到Dyz上作二重积分.,3. 当的母线退缩成一点时, 此时不是柱体.,比如.,但作三重积分时, 仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,: x2 + y2 + z2 1. 则 Dxy : x2 + y2 1.,例1.,y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体.,解:,在xy面上的投影区域为,Dxy : 0 y 1x, 0 x 1.,沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1
5、 x y.,类似,例2.,解:,若先对 z 积分,由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成, 且在xy面上投影区域相对复杂. 积分较繁. 改为先对 y 积分.,沿 y 轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz .,消去 y ,故 Dxz :,注意, 由于先对 x , 再对 y, 再对 z 的积分,里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分,因此, 在很多情形下可先做一个二重积分, 再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.,设空间有界闭区域 满足C1 z C2, 并且以平行于 xy 面的平面 z = 常数(z) 截 所得平面区域为Dz ,
6、则,(特别, 若 f (x, y, z) = g (z),例3.,解: : c z c , (x, y)Dz ,y,z,x,0,c,c,Dz,椭圆面积为ab.,关于利用对称性积分.,设有界闭区域的形状关于xy面对称,且 f (x, y, z) = f (x, y, z),若 f (x, y, z) = f (x, y, z),其中 1是中处于xy面上方部分.,类似可得关于xz面对称, 而 f (x, y, z) 关于y 是奇, 偶函数的结论,以及 关于 yz 面对称, 而 f (x, y, z) 关于x 是奇, 偶函数的结论.,(1)若 关于平面 y=x 对称, 则 f (x, y, z) 满
7、足什么条件时,有上述两个结论?,2.三重积分换元法.,设变换T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)将 *变到, 且函数x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)C1(*), 雅可比行列式,定理1,问：是否有,?,我们知道, 在定积分中,但在二, 三重积分中, 这一结论一般不对,不过, 当满足某些条件时, 结论成立。,证：由对称性知,则,1*：y2+z2+x21, y 0, z 0, x 0,即1* 1,故,1：x2+y2+z21, x0, y0,z0.,作变量代换,令x=y , y=z, z=x.,故,一般,若在的表达式
8、中,以y代x,以z代y,以x代z后, 的表达式不变(即具有“轮换性”),则,(教材P89,第三行结论可由此证明),3.利用柱面坐标求三重积分.,设点M = (x, y, z) R3,它在xy面上的投影点为P=(x, y, o),显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z ,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以及z唯一确定,称为柱面坐标.,所以在柱面坐标中 r = 常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,点M的直角坐标(x, y, z)和它的柱面坐标(r, , z)的关系为：x=r cos , y=r sin , z=z,其中0 r
9、 +, 0 2 (或 ) z+ .,易见, 在柱面坐标中, x2+y2=a2 化为 r=a (a0),y = kx 化为 tg = k 即, = 常数.,而 =常数,则在直角坐标系中的图形为过z轴的平面,z=常数为平行于xy面的平面.,设变换T：x= rcos, y= r sin , z=z将柱面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,易算得,从而,一般,若是一母线平行于z 轴的柱面, z1(x, y) z z2(x, y), (x, y) Dxy, 在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理 (如圆,曲边扇形等),则可考虑用柱面坐标求三重积分.,并可将其化为先对z, 再对r, 再对的
10、三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极坐标做二重积分).,例5. 计算,其中：x2+y2+z2 1, 且z0.,解： 是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2 1.,令 x=rcos, y=rsin , z=z,则平面 z = 0 和球面,即0 z ,且0 r 1, 0 2,其中由x2+y2=2z及z=2所围成.,例6. 求,解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.,令x=rcos, y=rsin, z=z,注：常用的二次曲面有, 球面, 椭球面, 柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(
11、圆锥面).,4. 利用球面坐标计算三重积分.,则当OM的方向确定时, , 唯一确定, 反之亦然.,故M与数组( ,)一一对应.,称(, , )为点M的球面坐标,规定0 + , 0 , 0 2 (或 ),由图知,直角坐标与球面坐标的关系为x=rcos= sin cos,y= rsin = sin sin,z= cos.,用球面坐标,可将x2+y2+z2=a2化为=a(a0)，,将圆锥面a(x2+y2)= z2化为=常数,将y=kx化为 =常数.,即=常数,=常数=常数分别表球面, 圆锥面, 过 z轴的半平面.,若变换T: x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos将*变到,易算得,
12、从而,右端一般化为先对r,再对,再对 的三次积分.,注：本教材用字母r表示.即x=rsincos, y=r sinsin, z= rcso.(此处r与柱面坐标中的r意义不同).,确定r, , 的变化范围的方法(与用极坐标算二重积分类似),(1) 若由两曲面围成,其球面坐标方程为r=r1(, ), r=r2( , ).,以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(, ), 后遇到的曲面为r=r2( , ), 则r1( , ) rr2( , )., 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.,(2)若原点在的边界上,以原点为起点所作的穿过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为r = r ( ,
13、),(3)若包含原点,围成的曲面方程为r = r (, ), 则0 rr( , ), 0 , 02., 的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定.,则0 r r( , ),例7.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.,解:的体积V,用球面坐标求这个三重积分.,令x=rsincos, y=rsinsin, z= rcos. 则,x2+y2+z22Rz=0的球面坐标方程为r22Rrcos =0,即: r=2Rcos ,ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为ctg2(r2sin2cos2+ r
14、2sin2sin2) =r2cos2,即: =.,由前面的(2)及的形状知, 0r2Rcos, 0,因在xy面投影区域为圆, 故02.,的体积,一般,若的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标.,例8.计算,解: 的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.,令 x = r sin cos, y=rsinsin, z=rcos.则,且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).,由上面的(1)及的形状知,arb,0 , 02.,例9.求椭圆球体: 的体积V, a, b, c, 大于0.,解:,令,(广义球面坐标),可得,椭圆球面方程为r=1,且0 r1, 0 , 02.,一般,(1
15、)若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分.,比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对.,(2)若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标.,比如,球面与圆锥面,但不绝对.,例10. 设f (u)可导, 且 f (0) = 0, 求,解: 这是一个极限问题, 分母趋于0. 另外, 当 (球)的半径 t 0时, 分子也是趋于0的.,因此它是一个型的极限问题, 可用罗必塔法则求.,注意到分子是一个三重积分, 在一定的条件下可化为三个是积分之积, 故先化三重积分.,故原式=,(罗彼塔法则),(注意 f (0) = 0),例11. 设 f (u) 连续, 证明,证:,即以平面 ax+by+cz = 0的单位法向量作u轴, 以平面ax+by+cz = 0上两个互相垂直的单位向量分别作v轴和w轴, 对xyz坐标系作正交变换.,
