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1、,6.5同构及同态6.5.1同态映射定义6.5.1设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射说是一个同态映射，如果（ab）=（a）（b）。定理6.5.1设G是一个群，是G到K中的一个同态映射，则G的映象G=（G）是一个群，G的单位元1的映象（1）就是G的单位元1，而a的逆a-1的映象（a-1）就是a的映象（a）的逆（a）-1：（a-1）=（a）-1。,证明：因为G非空,显然G非空，要证G做成群，首先要证G中任意两个元素可以相乘，即设aG，bG，要证abG。事实上，a=（a），b=（b），按的同态性（ab）=（a）（b）=ab，故ab是G的元素ab的映象，因而abG。再证G中有结合律成立：
2、设a,b,cG，则a（bc）=（ab）c。事实上，a=（a），b=（b），c=（c），又因为群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是（a（bc）=（ab）c）。按的同态性，推出(a)(bc)=(ab)(c)，(a)(b)(c)=(a)(b)(c)，,即a（bc）=（ab）c。下面证G有左壹而且就是（1），即对于任意的aG,有(1)a=a。事实上，a=（a），按的同态性（1）a=（1）（a）=（1a）=（a）=a。再证G中的任意元素a有左逆而且就是（a-1）。事实上，a=（a），由的同态性(a-1)a=(a-1)(a)=(a-1a)=（1）。因此，G做成一个群，G的壹1=（1），G中
3、a的逆是（a-1）。G和G说是同态，记为GG。,例6.5.1设（G，*），（K，+）是两个群，令：xe，xG，其中e是K的单位元。则是G到K内的映射，且对a，bG，有（a*b）=e=（a）+（b）。即，是G到K的同态映射，G（G）。（G）=e是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。,例6.5.2设（Z，+）为整数加法群，（C*，）是所有非零复数在数的乘法下作成的群，令：nin，nZ，其中i是C的虚数单位。则是Z到C*内的一个映射，且对m,nZ，有(m+n)=im+n=imin=(m)(n)。即，是Z到C*的同态映射，Z（Z）。（Z）=1，-1，i，-i是C*的一个子群。,6.5.2
4、同构映射定义6.5.2设G是一个群，K是一个乘法系统，是G到K内的一个同态映射，如果是G到（G）上的1-1映射,则称是同构映射。称G与（G）同构，记成GG。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。如果G只和G同态，则由于G中两个或多个元素可能变成G的一个元素，所以不能说是G和G构造一样，但因为G中的乘法关系在G中仍对应地成立，所以，可以说G是G的一个缩影。,例6.5.3设（R+，）是一切正实数在数的乘法下作成的群,(R，+)是实数加法群。令：xlogx，xR+，则是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+，（ab）=log（ab）=loga+logb=（a）+（b）。故是R+到R上的同构映
5、射。Logx是以e为底的x的对数,若取(x)=log2x，或若取（x）=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。此例中（R+，）（R，+），如果将R+换成R*，即换成非零实数集,那么（R*,）与（R,+）能否同构呢？,例6.5.4（R*，）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，）与（R，+）同构，可设映射为R*到R上的一个同构映射，于是必有：10，-1a，a0。从而，（1）=（-1）（-1）=（-1）+（-1）=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a0矛盾。故原假设不对,（R*，）与（R，+）不可能同构。,例6.5.5
6、无限循环群同构于整数加法群。证明：设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对aG，nZ，使得a=gn，则令f：an。不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。定义6.5.3设G是一个群，若是G到G上的同构映射，则称为自同构映射。自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例子。,例6.5.6设（Z，+）是整数加法群，令：n-n，nZ，则是Z的一个自同构映射。例6.5.7设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射：aa-1，aG，是G的一个自同构映射。此例包含上例为特例。如果G包含元数大于2，那
7、么该自同构映射不一定是恒等自同构映射。,6.5.3同态核定义6.5.4设是G到G上的一个同态映射，命N为G中所有变成G中1的元素g的集合，记为-1（1），即N=-1（1）=gG（g）=1我们把N叫做的核。这里-1（1）只是一个记号，不代表逆映射。,定理6.5.2设是G到G上的一个同态映射，于是，的核N是G的一个正规子群,对于G的任意元素a，-1(a)=x|xG,(x)=a是N在G中的一个陪集，因此，G的元素和N在G中的陪集一一对应。证明：先证N是G的子群。1）证N非空。因为（1）=1，所以1N。2）若aN，bN，要证ab-1N。事实上，由（a）=1，（b）=1，可得（ab-1）=（a）（b-1
8、）=（a）（b）-1=1（1）-1=1，故ab-1N。,再证N是正规子群,即证对于任意的gG,gNg-1N。事实上，(gNg-1)=(g)(N)(g-1)=(g)1(g)-1=(g)(g)-11=1。故gNg-1N。最后证明：若aG而(a)=a则-1（a）是N在G中的一个陪集，即为Na。事实上，对任意的bG，b-1(a)必要而且只要(b)=a,必要而且只要(b)(a)-1=1,必要而且只要(b)(a)-1=(ba-1)=1,必要而且只要ba-1N，必要而且只要bNa。,以上所述说明了:若是G到G上的同态映射,则其核N为一正规子群。反过来，我们要问：设N是G的一个正规子群,是否有一个群G以及一个
9、G到G上的同态映射,使N为的核？回答是肯定的,下面造出如此之G和。引理1设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN，B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。,定理6.5.3按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.命：aaN，则是G到上的一个同态映射,其核为N.证明：由引理1，中乘法封闭，映射使(a)(b)=aNbN=abN=(ab)，故是G到上的一个同态映射，按定理6.5.1，是一个群,的壹显然就是N本身（作为中的一个元素）,所以的核应含G中在之下变成中壹N的那些元素:核=gG（g）=N=gGgN=N=
10、gGgN=N（作为G的一个子集，一个正规子群）。叫做G对于N的商群，记为GN。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。,例6.5.8设G是整数加法群，N=5G=,-10,-5,0,5,10,则N是G的正规子群.G中N的所有陪集为：,其中：=,-10,-5,0,5,10,=N=0+N，=,-9,-4,1,6,11,=1+N，=,-6,-1,4,9,14,=4+N。用表示陪集间的加法，则=(1+N)(4+N)=（1+4）+N=N=。若令=，则G，在陪集加法下是一个群。,定理6.5.4设是G到G上的一个同态映射,若的核为N，则G。证明：首先，由定理6.5.2，我们知道G的
11、元素和GN的元素一一对应,设在这个一一对应之下,G的元素a和b分别对应GN的元素aN和bN:aaN，bbN。于是a=(a)，b=(b)，而且ab=(ab),可见G的元素ab所对应的GN的元素是abN=aNbN：abaNbN。所以G和GN同构。,例6.5.9设G是整数加法群，：xx（mod5）,xG，则G=（G）=0,1,2,3,4是模5的加法群,是G到G上的同态映射。的核为N=5G，GN=，则GGN。,定理6.5.3和定理6.5.4说明，G的任意缩影和G的一个商群同构，而且G的任一商群也就是一个缩影。因此,抽象地看来，商群就是缩影,缩影就是商群，说是商群，我们指的是以陪集为元素作成的群，说是缩
12、影，我们可以设想把陪集aN中的所有元素加以“等置”而得一个元素a，缩影就是这些元素a作成的群。,例如,Sn：n次对称群，C2=1，-1，按照乘法，是二元循环群，规定映射sgn：sgn则由sgn=sgn.sgn,知sgn是同态映射，同态象C2，其核为n次交代群An，显然An是Sn的正规子群，SnSi/An是自然同态，同态象C2Sn/An，所以说Sn/An是二元循环群。,下面看同态映射下子群的变化。设G是群，同态映射，GG，N是同态核。(1)H是G的子群，则H=(H)是G的子群。(2)设H是G的子群,则-1(H)=H为G的子群.证明：H=-1(H)显然非空。对任意a，bH，必有(a)，(b)H，因
13、H是子群，所以(a)(b)-1=(ab-1)H，所以ab-1H，故H是G的子群。,(3)先给出G的子群H,作(H)=H，然后看-1(H),它是H吗?不一定，应是-1(H)=HN。证明：因(HN)=(H)(N)=(H)，所以HN-1(H)。任取a-1(H)，必有(a)=h(H)，因为(H)是H的象集，必有hH，使(h)=h=(a),即(h-1a)=(h)-1(a)=1，所以h-1aN，即ahN，有aHN，故-1(H)HN，所以原式成立。(4)若NH，则-1(H)=H。证：因N中有1，故H=H1HNHH=H所以，HN=H，由(3)，结论成立。,(5)先给G子群H，-1(H)=H再看H的象集(H)=
14、(-1(H)它是H吗？是的。证：因-1(H)表示H在G中全体原象集，故在下再看象集必是H。(6)若H是G正规子群，则H=(H)是G正规子群。证：对任gG往证gHg-1H因为必有gG使(g)=g而gHg-1=(g)(H)(g)-1=(gHg-1)=(H)=H所以，H正规子群。,(7)若H是G的正规子群，则H=-1(H)是G的正规子群。证：对任gG要证gHg-1H因(gHg-1)=(g)(H)(g)-1=gHg-1=H所以，gHg-1H=-1(H)=H由(1)(7)，可得如下定理：定理6.5.5G与N之间的子群和G的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。,G中子群与G中子
15、群的关系示意图1,G当NHG-1(H)=HNH=(H),H,1N,H1,G中子群与G中子群的关系示意图2,G若HNH=(H)G,H,1N,1,6.6环6.6.1环的定义定义6.6.1设R是一个非空集合，其中有加法乘法两种运算，R叫做一个环，如果1）a+b=b+a，2）a+（b+c）=（a+b）+c，3）R中有一个元素0，适合a+0=a，4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0，5）a（bc）=（ab）c，6）a（b+c）=ab+ac,（a+b）c=ac+bc。以上1）到4）说明了R对于加法构成一个Abel群，5）表示乘法适合结合律，6）表示乘法对于加法有分配律；由于乘法不见得适合交换律
16、，所以分配律有两个。,例6.6.1所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。例6.6.2所有矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做矩阵环。例6.6.3实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环,叫做多项式环。例6.6.4整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。例6.6.5所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环,常称为有理数域、实数域、复数域。,6.6.2环的性质性质6.6.1用数学归纳法,分配律可以推广如下:a（b1+bn）=ab1+abn，（a1+am）b=a1b+amb，aibj=aibj。所以,当m为正整数时,a,b环R,a(mb)=(ma)b=m(ab),并且规定0a=0,其中第一个0是整数，第二个0是环中单位元。性质6.6.2a（c-b）=ac-ab，（c-b）a=ca-ba。证明：因为a（c-b）+ab=a（c-b+b）=ac，所以a（c-b）=ac-ab。同理，（
