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1、34 中学数学教学 2014年第4期 。 20 1 4年高考数学安徽卷理科第1 5题的推广与反思 ；方 法； 、L +一+一一+ 安徽省铜陵市第一中学 陈良骥 (邮编：244000) 摘 要 2014年安徽省高考数学理科试卷第15题以向量的数量积为背景，结合计数原理等知 识，构思精巧，综合性强，值得研究本文将对其进行推广探究 关键词 高考数学安徽卷；第15题；推广探究 2014年高考数学安徽卷(理)第15题： 已知两个不相等的非零向量n、6，两组向量 x】、x 2、x 3、x 4、x 5和yl、y 2、y 3、y 4、)， 5均由2个口 和3个6排列而成记SxlY1+x 2)，2+x 3 3+
2、x4 4+x 5j，5 S表示S所有可能取值中的最小值下列 命题正确的是 (写上所有正确命题的编 号) s有5个不同的值 若。上6，则s 与I n l无关 若n6，则s 。 与I 6 l无关 若6 I4a，则s 0 若l I-2 I口I，S -8 l n l ，贝0口与6的 夹角为 本题属于非常规题，以向量的数量积为背 景，结合计数原理等知识，构思精巧，给人启迪 现略作推广与反思如下： 推广1 已知两个不相等的非零向量口、6， 两组向量x 、x 2、x + 和 1、Y 、Y + 均 由 个口和 个6排列而成( ”， ， N+) 记S：=x1j，l+x 2 2+xm+ ym+n， 下用局部调整的
3、方法研究S的所有取值 可能 不妨设向量 x 、x 、x + 就是 竺 !乏 a，口，b，6，6 则Y 、Y 、j， + 的初始情形是 ! ： 6，6，6，6一直不变 对 、 z、j， + 的初始情形中的前一个a 与前一个b进行一次交换，变为6，n， 。 _。一 个 ，6，6，6，此时S记作S，显然S 一(m一1) 。 。 。 。一 ”个 l a I +( 一1)I 6 I +2a6 再对 、 z、_)， + 的初始情形中的前两 个口与前两个6进行一次交换，变为6，6， 。_J_。一 F个 口，6，6，此时S记作S。，显然S 2一(m一2) 。 、 。 一 个 I n I +( 一2)l 6 l
4、 +4a6 再对Y 、Y。、y + 的初始情形中的前i个 n与前i个6进行一次交换， 变为 扫，6，6，n，n， ，b，此时S 、 一 、 一 个 n-V 记作s ，显然0i ，iN+且 S 一( i)jI +(72一i)1扫I 4-2ia 直至i 时，Y ，y z，y + 变为 !二 ： 6，6，6，a，a，0，b，6 、，一 1个 n个 s 一( )I 6 I 4-2ma6 由此我们可以得到： S有 4-1个不同的值，分别是s 、S 、 5 2、S ， 二 s 一( )l 0 1 z 4-( 一 ) l z 4-2in 、 _-、一 0 一 _，lz，I U l ”一Z，I D l U 个
5、 ， 个 此时s记作s。，显然S。一 J n l。4- 6 I 现保持向量xl、x 2、x + 是a，a，口， 6(0iDt，iN+)； 5 (0i ，iN+)组成一个等差 数列，公差d一一(口一6) ； 2014年第4期 中学数学教学 35 用S S 分别表示S所有可能取值中的 最小值、最大值； S一s 一( )1 b l +2mab，若a 上b，则s 与1 a l无关； S 一s。一研I a I + l b I。，s 和n与 6的夹角无关； S 一S i 一m(nb) 推广2 已知两个不相等的非零向量a，6， 向量x 、x 、x + 由 个a和 个b排列而成 向量Y 、Y 2、Y + 均由
6、愚个a和z个b排列而 成( + =是+z，忌 z，忌、 、 、z N+)(记SxlY1+x 2Y 2+xm+ Ym+ ， 下用研究S的所有取值可能 不妨设向量x 、x。、 + 就是 ： a，a，口，6，b，b，厶 则Y 、J，z、Y + 的初始情形是 ，口，6，6，b，b，b ，一 、r 个 f个 此时s记作S。，显然s。一愚I a I +n l l。+ 2(m一是)口b 竺 现保持向量x1、x 2、x + 是a，a，口， ! ： b，b，b，b一直不变 对Y。、Y z、Y + 的初始情形中的前一个a 与前一个6进行一次交换，变为6，n，口， 。 。、 一 个 口，6，b，b，此时S记作S ，
7、显然 S 一(尼一1)I口I +( 一1)J b J +( 一忌 +2)nb 再对Y 、Y z、Y + 的初始情形中的前两 个a与前两个b，进行一次交换，瘦为 6，6，a，n，a，0，b，6，此时S记作S 2， 个 显然 S 2一(忌一2) +4)nb +( 一2)l b I +( 一是 再对Y 、Y 、Y + 的初始情形中的前i个 a与前i个b， 进行一次交换， 变为 ：允 b，b，6，口，a，a，口，a，b，b，此时S 记作S ，显然0i忌，iN+且 S 一(是一i)I口I。+( i)l b I +( 一 + 2i)ab 直至i一 时，Y 、Y：、Y + 变为 扫，b，b，a，a，b，b
8、v 、，一 个 个 S 一( 一是)l 6 l +(仇+愚)口b， 由此我们类似推论1得到： S有 +1个不同的值分别是S。、S 、S 、 、S ； S 一(忌一 )l a l。+( 一i)I b l +( 一是 +2i)ab(0i是，iN+)； S )(0i忌，iN+)组成一个等差 数列公差d一一(ab)。； 用S S 分别表示s所有可能取值中的 最小值、最大值； S i 一S ：=(72一是)l 6 I。+( +忌)n6， 若a上6，则s 与I口l无关； S一s o一愚l a I。+72 I b 1 +2( 一是) b，m忌时s 和a与b的夹角有关； S 一S i 一是(n一6) 一点反思
9、： 反思1 通过局部置换法我们发现，当x 、 x z、x + 与Y 、Y z、_)， + 尽量“同序”即口 b个数较少时，s值较大；而x 、x 、x + 与 Y 、Y z、Y + 尽量“反序”即nb个数较多时， s值较小，与排序不等式“反序和”“乱序和” “同序和”有异曲同工之妙； 反思2 已知两个不相等的非零向量a、6， 向量x 、x 、x + 由m个0和 个6排列而成 向量 、Y z、Y + 均由 个口和z个b排列而 成(愚， ， ，ZN+)记Sx1Y1+x 2Y 2+ +xm+n。J，m+n， S有N+1个不同的值，分别是S。、s-、 s 2、sN，其中Nrainm， ，走，z)； S
10、一(尼一i)l a I +(ni)I b 1 +(m一愚 +2i)口6(0 i 愚，iN+)； S )(0i愚，iN+)组成一个等差 数列，公差d一一(a一6) ； 用S、S分别表示S所有可能取值中的 36 中学数学教学 2014年第4期 立足通性通法 兼顾巧解巧法 对一道公开课例题的解法分析与拓展 安徽省寿县第一中学 梁昌金 (邮编：232200) 最近，我有幸聆听了我校一位资深教师的数 学公开课，主讲内容是高三第二轮复习解析几何 专题授课教师力求对解析几何问题求解的常见 方法与思想进行梳理，让学生体会到“直线与圆 锥曲线位置关系”有关综合问题常用的数学思想 与方法、解题的基本规律与技巧等，
11、从而提高综 合分析问题和解决问题的能力其中一道解析几 何题引起了我的极大兴趣，课后在评课时才知 道，这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高 三第三次教学质量检测理科数学第2O题 1 原题再现。解法分析 题目 平面内定点F(1，0)，定直线l：z一 4，P为平面内动点，作PQ上z，垂足为Q，且 + l PQ f=2 l PF 1 (1)求动点P的轨迹方程； (2)过点F与坐标轴不垂直的直线，交动点 P的轨迹于A、B，线段AB的垂直平分线交z轴 l F l 于点R，试判断 _是否为定值 ID 1 分析 第(1)问属于常规题；第(2)问考查 了解析几何的通性通法，并考查了函数与方程的 思想、数形
12、结合的思想、化归与转化的思想、特殊 与一般的思想本题是圆锥曲线的一个性质，带 有数学探究的意味在分析问题时要充分挖掘试 题的本质，揭示数学问题的精髓，有意识地让学 生从特殊到一般去发现结论、推厂命题，既口J以 使学生享受学习成功的喜悦，也循序渐进地撩开 了数学试题的真实面纱，逐渐使学生达到融会贯 通的学习境界 解 (1)点P的轨迹方程为 +等=1 (2)证法1由条件，直线AB的斜率必存在 (且不为0)，可设AB：Y一是( 一1)(愚0)， fYk( 一1) 联立方程组 z Y ，消去Y，得(3+ 1 4 。 3 4k ) 一8k。 +4k 一12=0， 设A( 1，Y1)，B( 2， 2)，贝
13、 l+ 2 8k。4k 一12 。一 丽 设AB中点为D( 。,y o)，知 。一 L 一 。 一 所以线段AB的垂直平分线方程为 一 一i13 4k ( 一 3 4k) 1， 一一I 一一， + 。 志 + 。 令 ，得 = ， 一职I=1 一 -一 (上接第36页) 最小值、最大值 s 一s女一( N)I b l +( +N)口 b，若n上b，则s 与l a I无关； s一s o一是II + l b I +2( 一是)a b， 尼时，S 和口与b的夹角有关； S 一S一N(nb) 提出问题 已知两个不相等的非零向量a、 b，向量x 、x 2、x + 由 个口和 个b排列而 成，向量Y 、Y z、 + 中的每一个向量均可以 是口和b某一个，记SxlYl+x2Y 2+ x + y + ，问S有哪些特征? (收稿日期：20140612)
