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1、微积分初步辅导1-函数部分一、学习重难点解析（一）关于函数的概念1.组成函数的要素:(1)定义域:自变量的取值范围D；(2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f.函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数.2.函数定义域的确定对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定：(1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零；(2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负；(3) 函数式里
2、如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；(4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分；(5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集.(6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域.3.函数的对应关系函数的对应关系f或f（ ）表示对自变量x的一个运算，通过f或f（ ）把x变成了y，例如，则f代表算式括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值.（二）关于函数的基本属性函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究.理解函数属性中需要注意下面的问题：1.关于函数的奇偶性：讨论
3、函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即 奇函数奇函数=奇函数 奇函数偶函数=非奇非偶函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数并记住常见的奇函数有；常见的偶函数有.2. 关于函数的单调性单调函数是与相应的区间相联系的，例如，函数在是单调递减的，在是单调递增的，在内不是单调函数.单调递增（或递减）函数的图形是随着自变量的增大在上升（或下降）的. （三）函数的函数函数的复合运算我们可以这样理解复合函数的概念：当一个函数的自变量用另一个函数的因变量代替，就可能产生复合函数，例如在函数中，用替换，即得
4、.这里的函数可以看成由函数和函数复合而成的.但是要注意，不是任何两个函数都可以构成复合函数的，例如，由和就不能构成复合函数，因为，而负数开方是没有意义的.复合函数的复合环节可以多于两个，例如，可复合为函数.通过课程的学习我们知道，由若干个简单函数，经过有限次的四则运算和复合步骤可以产生许许多多的函数初等函数.反过来，对于一个比较复杂的函数，在对它进行研究时，常常要将其分解成若干个组成它的函数.例如可以分解为.二、典 型 例 题例1 求下列函数的定义域：（1）（2）分析 （1）函数是由与的和构成的，按照前面提到的求解途径，先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；（2）这是个分段函数，先确定函数
5、在各段上自变量的取值范围，再取并集.解（1）对于，要求且，即；对于，要求，即，它等价于，即，于是取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为.（2）两个分段区间是和，取它们的并集得所求函数的定义域为.例2 已知函数，求和.分析 本题的关键是求出，可以采取两种不同的方法求解.方法1 将看作一个变量，即作变量替换，这样得到，代入后直接得出.方法2将等式右端表成的函数.解 方法1令，则，代入原式有 因函数关系与表示自变量的字母无关，故由上式得到 利用可直接得到 .方法2 将等式右端表成的函数,即所以 再利用可直接得到 .例3 判断下列函数的奇偶性（1）（2）分析 （1）可以根据定义或运算性质进行判
6、断；（2）根据定义进行判断.解 （1）方法1 根据定义进行判断.因为且，也，由定义，是非奇非偶函数.方法2 根据运算性质进行判断.因为是奇函数，是偶函数，所以是非奇非偶函数.注意：利用运算性质进行判断的前提是知道各函数的奇偶性.（2）根据定义进行判断.因为 所以，是奇函数.例4 将下列函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）（2）分析 任意一个初等函数可以分解为基本初等函数的四则运算或复合运算.分解的方法是从最外层开始，如果是四则运算就将运算的每一项设为中间变量，然后在考察每个中间变量；若不是四则运算，则一定是某一类基本初等函数，此时将这个基本初等函数的自变量位置上的表达式设为一个中间变量，然后再考察这个中间变量.将这个方法向内层反复使用.解（1）.（2），.4
