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1、当 时，（） （ ） ，（）在（， ）上单调递减，（） （） ，所以（） （）成立，当 时，（） （ ） ，（）在（， ）上单调递增，（） （ ） ，（）在（， ）上是凹函数，图如图，要使（） （）在（， ）上成立，则必须且只须（） （）在（， ）上成立，所以（ ） （ ），分离参数得 （ ），因为 （ ） ，所以 综上，的最大值为法 （充分条件法）当 ，（） ，易发现（） ，我们自然想到，若函数（）为单调递增函数，那么（） 一定成立，导函数（） （ ） （ ）（ ） 即可，因为 所以 ，分离参数得 对 （， ）恒成立，因为 ，所以 下面只需说明 时，（） 不恒成立当 时，令（） ，得 （ ）
2、，（）在（，（ ）上单调递减，当 （，（ ）时，（） （） ，不符题意综上，的最大值为点评因为（） ，所以（）在（， ）上单调递增是（） 恒成立的充分条件，解法先利用充分条件求出参数的取值范围，再证明所求范围满足必要性年陕西省高考理科数学第题研究陕西省咸阳市乾县杨汉中学 汪仁林姚利娟最近，在研究陕西省高考理科压轴题时，有了意外的收获，得到了标准答案以外且优于标准答案的新解法，汇总如下，与读者共享题目 （年陕西高考理科数学第题）设函数（）（ ），（）（）， ，其中（）是（）的导函数（ ）令（） （），（） （）， ，求（）的表达式；（ ）若（） （）恒成立，求实数的取值范围；（ ）设 ，比较（）
3、 （） （）与 （）的大小，并加以证明解析 （ ）由题知，（） （） ，（） （） （） （），所以（） （）（） （），令 （），则数列是以 （） 为首项，以为公差的等差数列，所以 （ ） ，即（） ，所以（）的表达式为：（） 评析此种解法太经典了，将问题转化为由数列递推公式求通项公式，而考题标准答案所给解法为先通过归纳推理猜想出（）的表达式，然后用数学归纳法证明，与此解法相比就显得复杂了（ ）已知（） （）恒成立，即（ ） （ ）恒成立当 时（ ）式显然恒成立，此时 ；当 时， （ ）式可化为 ( ) （ ） ，设（） ( ) （ ） （ ），则 （），（） （ ） ，令（） （ ）（ ）
4、，则（）与（）同号因为（） ，所以函数中学数学杂志 年第期 （）在（， ）上为增函数，所以（） （） ，所以（） ，所以函数（）在（， ）上为增函数，所以（） （） （ ）（ ） （ ）（ ）（） （ ） （洛必达法则），所以此时 因为（ ）式对 恒成立，所以 所求的范围求交集即可，所以实数的取值范围是（ ，评析此种解法关键是分离参数，把问题转化为不含参数的函数通过多次求导来求最值，然后利用洛必达法则可轻松获解当然，解题过程中的一些细节问题的处理应引起重视对比考题所给标准答案可知，此种方法思路非常清晰，学生更容易掌握！值得提倡（ ）由题设知：（） （） （） ， （） （ ），当 时，（） （
5、） （） （） ， （） （ ） ，由此猜想（） （） （） （ ）此不等式等价于 （ ）证明如下：证法 （数学归纳法） （ ）当 时， 显然成立假设 （ ）时，有 （ ）成立那么 时，有 （ ） 要证 时也成立，只需证（ ） （ ），即证 ，在（ ）中，取 可得（ ） ，令 ，则 ，这就说明当 时也成立综上 可知结论对 成立证法由（ ） ， （ ），由此想到用定积分的几何意义，（ ）可表示为曲线 与直线 ，直线 与轴围成的曲边梯形的面积，如图阴影部分所示而 从几何的角度恰好可看成是如图中阴影部分所示的个矩形的面积之和显然图中阴影部分面积小于图阴影部分的面积，所以 （ ）成立图图评析一般地，与
6、正整数有关的不等式的证明，在函数题中出现，前后两问总会存在一定的联系，首先应考虑借助于前几问或已知条件，构造函数，向题中已知的函数不等式靠拢；如果构造函数很盲目，可考虑用数学归纳法证，特别是由 时成立过渡到 时也成立，用分析法，将需要构造的函数直接分析出来，证法一与前几问或题设可以无任何关系，即可将题目设置一问，由此可见，这种解法确实能起到事半功倍的效果，值得推广；证法二由（ ） ， （ ），由此想到用定积分的几何意义，而不等式左边的几何意义是个矩形的面积之和，通过几何法，达到了事半功倍的效果本解法的定积分证法与考题标准答案所给的定积分证法相比，学生更容易想到，且更好掌握作者简介汪仁林，男，年生，陕西省商南县人，一级教师主要从事数学教育与高考试题研究发表文章余篇，参编教辅用书本分别荣获“中国教育改革优秀教师”、“咸阳市市级教学能手”、“市级学科带头人”、“咸阳市高中数学学科专家组成员”、“省级骨干班主任”、“全国高中数学联赛优秀辅导教师”、“全国中学生数学能力竞赛优秀指导教师”称号姚利娟，女，年生，陕西乾县人中学一级教师，咸阳市市级教学能手，主要从事数学教育与高考试题研究，发表文章余篇参编教辅用书本 中学数学杂志 年第期
