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1、l用好“题设的必不充分条件”这把“双刃剑”数学推导一般可以分为两类.第一类是利用等价条件进行转化：题设结论，最终题设与结论互为充要条件.题设的内涵没有减弱，外延也没有拓展，因此结论的正确性不容质疑.第二类是利用充分条件进行推导：题设结论，最终结论成为题设的必要但不充分条件.如果从集合的观点来看，设满足题设的元素构成集合m，满足结论的元素构成的集合为n，若mn，则结论是题设的必要但不充分条件.可见，在第二类推导过程中，题设的内涵的性质在减弱，外延的范围在拓展.第二类推导带来“利”与“弊”两方面的后果：“利”的一方面是题设的要求可以暂时降低.如题设条件中“全部”满足可以暂时降到“局部”满足，题设的
2、“一般性”满足暂时降到“特殊性”满足，题设的“是否存在”满足暂时降低到“假设存在”满足等等.这样，我们可以从一般先到特殊，未知暂当已知，从而把解决问题的“入口”降低.“弊”的一方面是这样的推导有可能使答案的范围扩大或者出现“增解”的现象，结果“惹祸”，甚至上当受骗之后还不察觉.因此，我们说“题设的必要不充分条件”是一把“双刃剑”.为了用好这把“双刃剑”，我们采用以下面的推导流程：题设题设的必要但不充分条件中间结果验证结论这种模式的推导是从一般先到特殊再回到一般，即先研究特殊情况，推出中间结果，再对特殊情况下的中间结果进行“一般性”或“存在性”的验证，最后推出结论，这样，一方面使结论与题设仍然保
3、持等价性，另一方面使解决问题的思路简单、清晰，而且也为解决探究性问题提供了行之有效的策略.下面举例说明怎样使用这把“双刃剑”，来达到既能“克敌制胜”又不会“伤害自己”的目的.先来评析一道经典试题的多种解法.例1 （2008年江苏高考数学第14题）设函数f（x）=ax3-3x+1（xr），若对于任意x-1，1，都有f（x）0成立，则实数a的值为.这道试题，散见在各种文献资料上有四种解法，现在分别作出评析.分析1 f（x）0恒成立f（x）min0.本题转化为求函数f（x）在x-1，1上的最小值.由题得：f（x）=3ax2-3=3（ax2-1），（1） 当a0时，f（x）0时，令f（x）=3（ax2
4、-1）=0，得x=1a 若0 若a1，则-10，总有g（x）和h（x）相切于点p12，12，根据图，得原题等价于x（-1，1）时，除切点外，g（x）的图象在h（x）图象的上方g（1） h（1） g（-1）h（-1）g12=h12即f（1） 0f（-1）0f12=0，得a=4.评注 推导过程仍然是等价转化，不过是画出了大家熟悉的三次函数与一次函数的图象，运用数形结合的思想来列出充要条件.运算量比方法1小，但思维含量要求较高，必须挖掘出隐含条件，并且依赖于直观，有风险.分析3 对于x-1，1都有f（x）0成立的必要不充分条件是f（1） =a-20f（-1）=-a+40即得2a4.在这样的限制范围下
5、，就可以避免分析1中的分类讨论，而只需要说明分析1中的第（2） 种情况的就可以了，从而得a=4.评注 整个闭区间上要满足f（x）0，其必要不充分条件是区间的两端要满足f（x）0，通过两个特殊值限制了a的取值范围，依此来减少讨论的情况，甚至避免了分类讨论，这种化繁为简的效果是显而易见的.分析4 受“二分法”思想的启示，在分别考虑了f（x）在x=1和x=-1处的函数值后，继续考虑f（x）在x=0和x=12处的函数值，从而写出“对于x-1，1都有f（x）0成立”的必要不充分条件f（1） 0f（-1）0f（0）0f120，得a=4.评注 这是不少人津津乐道的一种小题小做的方法，并美其名曰“特值法”.其
6、实这里包含着不小的“隐患”.题末的设问是“实数a的值为”，难道没有可能答案是“实数a的值为不存在”吗？！（个别文章的作者为了强化这种“特值法”，故意将题末的设问改成“实数a=”，来暗示实数a的值的存在，可见用心的良苦！）所以分析4必须补充验证的步骤：当a=4时，f（x）=4x3-3x+1，令f（x）=12x2-3=0得x=12.因为-10），过焦点f的动直线l交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，求证：oaob为定值；（2） 由（1） 可知，过抛物线的焦点f的动直线l交抛物线于a，b两点，存在定点p，使得papb为定值，请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明.下面仅研究例3的（2） .运用类比推理
7、，关于椭圆有类似的结论：过椭圆的一个焦点f的动直线l交椭圆于a，b两点，存在定点p，使得papb为定值.不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（ab0），一个焦点为f（c，0）.本题对定点p和定值papb，都要探究，是一个双探究问题，难度较大.我们可以先考虑降低它的难度，对于“过椭圆的一个焦点f的动直线l”的必要但不充分条件是“过焦点的动直线的两个特殊位置（lx轴及l在x轴上）”存在定点p，使得papb为定值.椭圆与抛物线y2=2px（p0）一样，也关于x轴对称，所以我们有理由猜想定点p在x轴上.那么定点是否也会可能在原点o处呢？不妨试试看：当直线lx轴时，l与椭圆的两交点为ac，b2a，bc
8、，-b2a，此时papb=oaob=c2-b4a2，当直线lx轴上时，l与椭圆的两交点为a（a，0），b（-a，0），此时papb=oaob=-a2，要使paob为定值，则应该有c2-b2a2=-a2，即（2a2+b2）（a2-b2）=0，得a=b，这与ab矛盾.因此可以确定定点p不在原点o处.很自然的，设定点为p（x0，0），再试试看：当直线lx轴时，papb=c-x0，b2ac-x0，-b2a=（c-x0）2-b4a2，当直线l在x轴上时，papb=（a-x0，0）（-a-x0，0）=x20-a2，要使papb为定值，则应有（c-x0）2-b4a2=x20-a2，得x0=a2（a2+c2）
9、-b42a2c，此时，papb=b4（c2-4a2）4a4.通过对动直线l的两种特殊位置的探究，我们得到了这个问题的中间结果：如果存在定点p，那么p点的坐标为a2（a2+c2）-b42a2c，0，papb为定值b4（c2-4a2）4a4.接着对动直线l的一般情况给出证明：若直线l不垂直于x轴，设其方程为y=k（x-c），l与椭圆交于点a（x1，y1），b（x2，y2），由y=k（x-c）x2a2+y2b2=1，得（a2k2+b2）x2-2a2ck2x+（a2c2-a2b2）=0（*）因为直线l与椭圆必交于两点，所以方程（*）有两个相异实根x1，x2，且x1+x2=2a2ck2a2k2+b2，x
10、1x2=a2c2k2-a2b2a2k2+b2假设存在定点p（m，0），使得papb为定值则papb=（x1-m，y1）（x2-m，y2）=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（1+k2）x1x2-（m+ck2）（x1+x2）+m2+c2k2=（a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm）k2+（m2-a2）b2a2k2+b2（*）到这里有两种处理方法：方法1.取m=x0=a2（a2+c2）-b42a2c，代入（*）式消去k，得到papb=b4（c2-4a2）4a4为定值，不过运算量较大.方法2：当且仅当a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cma2=m2-a21时，（*）式为定值从而解得m=a2（a2+c2）-b42a2c，进而得到papb=b4（c2-4a2）4a4为定值故过椭圆焦点的动直线l交椭圆于a，b两点，存在定点pa2（a2+c2）-b42a2c，0，使得papb为定值b4（c2-4a2）4a4.评注 这样的探究活动，从特殊到一般，有操作的方法可以遵循.这样的证明过程，从具体到抽象，有明确的目标可以努力.有兴趣的读者还可以去探究双曲线是否也有类似的结论.以上几个例子使我们体会到，用好“题设的必要不充分条件”，确实能提高教学的效率.但是诚如车尔尼雪夫斯基所说的：“既然太阳也有黑点，人世间的事情就更不可能没有缺陷”.对于这把“双刃剑”我们要扬长避短.
