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1、函数值域求法1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1 求函数y=的值域 解：x0，0 显然函数的值域是：（ -，0）（0，+）。 例2 求函数y=3-的值域。 解： 0 - 0 3- 3 故函数的值域是：-，3 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例1、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。 解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x-1，2，由二次函数的性质可知：当x=1时，y =4 当x=-1，时=8 故函数的值域是：4，8 例2、求函数的值域。解： =，所以，故所求函数值域为，+。例3、求。解：所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为-2，+
2、）。3、判别式法例1 求函数y=的值域。解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0（1）当y1时，xR,=(-1)-4(y-1)(y-1)0解得：y（2）当y=1，时 ，x=0,而1, 故函数的值域为， 例2 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1） xR，=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）0，得：0x2。由0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采
3、取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例1 求函数y=值域。 解：由原函数式可得：x=则其反函数为：y= 其定义域为：x 故所求函数的值域为：（-，） 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例1求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=0，0解得：-1y1
4、。故所求函数的值域为(-1,1).例2 求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+）=3y 即 sinx（x+）= xR，sinx（x+）-1，1。即-11解得：-y 故函数的值域为-，。6、函数单调性法例1 求函数y= （2x10）的值域解：令y=，=，则 y ，在2，10上都是增函数。所以y= y +在2，10上是增函数。当x=2时，y =+=当x=10时，= +=33。故所求函数的值域为：，33。例2 求函数y=-的值域。解：原函数可化为： y=令y =，= ，显然y，在1，+）上为无上界的增函数，所以y= y +在1，+）上也为无上界的增
5、函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。显然y0，故原函数的值域为(0,。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例1、求函数的值域。解：由，得。令 得，于是，因为，所以。故所求函数值域为-，。例2、求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为。例3 求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t0）则x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t0时，y+。 故函数的值域为1，+）。例4求函数y=x+2+的值
6、域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin（+/4）+10，0+/45/4 -sin（+/4）1 0sin（+/4）+11+。 故所求函数的值域为0，1+。 例5 求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=- 可令x=tg，则有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时，=。当=k/2+/8时，y=-而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-，。 例6 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x-/12/2的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令si
7、nx+cosx=t，则sinxcosx=（-1） y=（-1）+t+1=由t=sinx+cosx=sin（x+/4）且x-/12，/2可得：t 当t=时，=+，当t=时，y=+ 故所求函数的值域为+，+。例7求函数y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x故可令x=cos，0， y=cos+4+sin=sin（+/4）+40， /4+/45/4 当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例1 求函数y=+的值域。
8、解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+）例2 求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=AB=， 故所求函数的值域为，+）。 例3 求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（
9、-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB= 即：-y （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有 AP-BP=AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：（-，-。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。 9 、不
10、等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1 求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为： y=（+）+1/+1/=1+ + =3+ 3+2 =5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k/4时（kz），等号成立。 故原函数的值域为：5，+）。 例2求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx =4cosx=16=8（2-2）8（+2- ）=8（+2- ）/3=当且当=2-2，即当=时，等号成立
11、。由，可得：-y故原函数的值域为：-，）。10、利用直线斜率法例1、求函数的值域。解：令 则（1），原函数成为（2）。 在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一椭圆，（2）表示过点P（-3，0）、斜率为的直线，过P作椭圆（1）的两条切线PM、PN则的取值范围即（2）的斜率的取值范围在PM、PN两斜率之间。为此，以（2）代入（1），消去，得=，化简得，故解得，所以所求函数的值域为例2、求函数的值域。解：令 则（1），原函数成为（2）。在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一个圆，（2）表示过原点O，斜率为的直线，过点O作圆（1）的两条切线，则的取值范围即（2）的斜率的取值范围在两切线斜率之间。为此，以（2）
