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1、复数的概念一、学法建议： 1、本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确： 实数也是复数，要把打复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b0，不要只记形式，要注 意b0，如0i=0是实数，而不是纯虚数，初学复数时最易在这里出错。 2、复数z=a+bi(a、是由它实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化 成实数问题的主要方法，要很好的掌握之，此外要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一 性质，并在解题中会运用它。 3、对于复数z=a+bi(a、，即要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体；又要从实部、 虚部的角度分解成两部分去认识它；这
2、在今后的解题中常会遇到，要逐步加以理解。 4、复数与点及向量均建立了一一对应关系，这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据，学习时要 注意从不同角度认识并分析复数问题，以便寻找最佳的解题途径。 5、复数与点的一一对应，使复数问题与解析几何问题相互转化，如果复数的实部与虚部是一对实变 量，那么对应的点在平面上就是动点，如果复数变量按某种条件变化，那么复平面上对应点就 构成具有某种特征的点集合或轨迹，这样就把数与形有机地结合起来了。 6、复数与向量的对应，使复数的运算与向量的运算得以统一，进而解决一些有关长度与夹角的问题， 后面的学习中会逐步加以认识。二、例题分析： 第一阶段例1 思路分析： 本题
3、是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数，由于所给复数z己写成标准形式，即z=a+bi (a、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。 解答： 例2己知关于方程x的x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值。 思路分析： 方程的实根必然适合方程，设x=x0为方程的实根，代入整理后得a+bi=0的形式(a、,由复数相等 的充要条件，可得关于x0与k的方程组，通过解方程组便可求得x0与k. 解答： 设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0 第二阶段例3己知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(
4、x-y)i=0,(x,yR) （1）当方程有实根时，求点(x、y)的轨迹方程。 （2）求方程实根的取值范围。 思想分析： （1）本题与例3相比，方程中有t、x、y三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是 要求动点(x,y)的轨迹方程，联想到解析几何知识，求(x,y)的轨迹方程就是求关于x、y的方程，于是 上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t,问题得解。 （2）由上面解答过程中的知x-y+t=0可看作一条直线，由知(x-1)2+(y+1)2=2是一个圆，因此求实 根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题。 解： （1）设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)
5、i=0 即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0 由得t=y-x代入得（y-x)2+2(y-x)+2xy=0 即(x-1)2+(y+1)2=2 所求点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2,轨迹是以(1,-1)为圆心，为半径的圆。 (2)由得圆心为(1,-1),半径r=， 即t+22，-4t0 故方程的实根的取值范围为-4,0例4己知x、yR若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i是共轭复数；求复数z=x+yi和 思路分析：若两上复数a+bi与c+di共轭，则a=c且b=-d由此可得到关于x、y的方程组。 解答： 第三阶段例5己知aR,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2
6、a+2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？ 思路分析： 根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限，与复数z的实部和虚部的符号有关， 所以本题的关键是判断(a2-2a+4)与-(a2-2a+2)的符号。 求复数z对应点的轨迹问题，首先把z表示成z=x+yi(x、yR)的形式，然后寻求x、y之间的关系，但要 注意参数限定的条件。 解： 由a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1 得z的实部为正数，z的虚部为负数， 复数z的对应点在第四象限。 消去a2-2a得y=-x+2(x3），复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y=-x
7、+2(x3）例6关于x的方程(4+3i)x2+mx+(4-3i)=0有实根，求m的最小值. 思路分析： 关于x的方程有实根，可把x看成实根代入方程，这里未指明m是实数,还是虚数，只能把m看做复数， 一种想法是设m=a+bi去处理，运算较繁，另一种想法是把m分离出来，再求其模的表达式。 解答： 显然方程的根x0把原方程化为: 三、练习题：1、“复数a+bi(a、bR)为纯虚数”是a=0的( )条件 A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既不充分又不必要2、若（x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x的值是() A、1 B、-1C、1 D、-1或-23、己知关于x的方程x2+
8、(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，则纯虚数m的值是() 4、设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z=(cotB-tanA)+i(tanB-cotA)对应的点位于复平面 的( ) A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限5、若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x、y的值是( ) A、x=3,且y=3 B、x=5且y=1 C、x=-1且y=-1 D、x= -1且y=1 7、复数z=1+cosa+isina的模为( ) 8、使不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是_9、复数z=x+3+i(y-2).(x、yR),且z=2，则点（x,
9、y)的轨迹是_10、己知(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0,则实数m=_11、己知M=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,N=-1,3,MN=3,则实数a=_12、解答题： 14、关于x的方程a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0(aR)有实根，求a的值及方程是实根四、参考答案： 15 A A B B D 67 C B 8、3 9、以（-3，2）为圆心，2为半径的圆 10、-2 11、-1 12：（1） （2）z=-1或z=-1+3i 13、 14、 (1)当a2-10时，有x=1,代回原方程得a2+a+1=0无实根 (2)当a2-1=0时，若a=1则x2+x+1=0无实根. 用心 爱心 专心
