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1、整理人 谭峰 2014年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数 21 2cos (2 )y x
2、的最小正周期是 . 【解析】：原式 cos4x ， 24 2T 2. 若复数 1 2z i ，其中i是虚数单位，则 1z zz . 【解析】：原式 21 1 5 1 6z z z 3. 若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆2 219 5x y 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 . 【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程 2x 4. 设 2, ( , ),( ) , , ).x x af x x x a 若 (2) 4f ，则a的取值范围为 . 【解析】：根据题意，2 , )a ， 2a 5. 若实数 ,x y满足 1xy ，则 2 22x y 的最小值为 . 【解析
3、】： 2 22 2 2 2 2x y x y 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【解析】：设圆锥母线长为R，底面圆半径为r， 3S S侧 底， 23r R r ，即3R r ， 1cos 3 ，即母线与底面夹角大小为 1arccos 3 整理人 谭峰 7. 已知曲线C的极坐标方程为 (3cos 4sin ) 1 ，则C与极轴的交点到极点的距离是 . 【解析】：曲线C的直角坐标方程为3 4 1x y ，与x轴的交点为 1( ,0)3 ，到原点距离为13 8. 设无穷等比数列 na 的公比为q，若 1 3 4lim nna a a a ，
4、则q . 【解析】：223 111 51 01 1 2a a qa q q qq q ，0 1q ，5 12q 9. 若2 13 2( )f x x x ，则满足 ( ) 0f x 的x的取值范围是 . 【解析】：2 13 2( ) 0f x x x ，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1) 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】： 3108 115P C 11. 已知互异的复数 ,a b满足 0ab ，集合 2 2, ,a b a b ，则a b . 【解析】：第
5、一种情况： 2 2,a a b b ， 0ab ， 1a b ，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况： 2 2,a b b a ， 4 3 1a a a ， 2 1 0a a ，即 1a b ； 12. 设常数a使方程sin 3cosx x a 在闭区间0 , 2 上恰有三个解 1 2 3, ,x x x ，则1 2 3x x x . 【解析】：化简得2sin( )3x a ，根据下图，当且仅当 3a 时，恰有三个交点， 即 1 2 3 70 23 3x x x 整理人 谭峰 P2 P5P6P7P8P4P3P1BA13. 某游戏的得分为1, 2 , 3 , 4 , 5，随机变量表示小白玩该游戏的
6、得分. 若 ( ) 4.2E ，则小白得5分的概率至少为 . 【解析】：设得i分的概率为 ip ， 1 2 3 4 52 3 4 5 4.2p p p p p ， 且 1 2 3 4 5 1p p p p p ， 1 2 3 4 54 4 4 4 4 4p p p p p ，与前式相减得： 1 2 3 53 2 0.2p p p p ， 0ip ， 1 2 3 5 53 2p p p p p ，即 5 0.2p 14. 已知曲线 2: 4C x y ，直线 : 6l x . 若对于点 ( , 0)A m ，存在C上的点P和l 上的Q使得 0AP AQ ，则m的取值范围为 . 【解析】：根据题意
7、，A是PQ中点，即 62 2P Q Px x xm ， 2 0Px ， 2,3m 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设 ,a bR，则“ 4a b ”是“ 2a 且 2b ”的 （ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 【解析】：B 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， ( 1, 2, ,8)iP i 是上底面上其余的八个点，则 ( 1, 2, , 8)iAB AP i 的不同值的
8、个数为 （ ） (A) 1. (B) 2 . (C) 4 . (D) 8. 【解析】：根据向量数量积的几何意义， iAB AP 等于 AB乘以 iAP在AB方向上的投影，而 iAP在AB方向上的投影是定值， AB也是定值， iAB AP 为定值1，选A 17. 已知 1 1 1( , )P a b 与 2 2 2( , )P a b 是直线 1y kx （k为常数）上两个不同的点，则关于x 和整理人 谭峰 y的方程组 1 12 21,1a x b ya x b y 的解的情况是 （ ） (A) 无论 1 2, ,k P P 如何，总是无解. (B) 无论 1 2, ,k P P 如何，总有唯一
9、解. (C) 存在 1 2, ,k P P ，使之恰有两解. (D) 存在 1 2, ,k P P ，使之有无穷多解. 【解析】：由已知条件 1 1 1b ka ， 2 2 1b ka ， 1 11 2 2 12 2a bD ab a ba b 1 2 2 1 1 2( 1) ( 1) 0a ka a ka a a ，有唯一解，选B 18. 设2( ) , 0,( ) 1 , 0.x a xf x x a xx 若 (0)f 是 ( )f x 的最小值，则a的取值范围为（ ） (A) 1, 2 . (B) 1, 0 . (C) 1, 2. (D) 0 , 2. 【解析】：先分析 0x 的情况，
10、是一个对称轴为x a 的二次函数，当 0a 时， min( ) ( ) (0)f x f a f ，不符合题意，排除AB选项；当 0a 时，根据图像 min( ) (0)f x f ，即 0a 符合题意，排除C选项；选D； 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分) 底面边长为2的正三棱锥 -P ABC，其表面展开图是三角形 1 2 3PP P，如图. 求 1 2 3PP P 的各边长及此三棱锥的体积V . 【解析】：根据题意可得 1 2, ,P B P 共线， 1 1 2ABP BAP CBP ， 60AB
11、C ， 1 1 2 60ABP BAP CBP ， 1 60P ，同理 2 3 60P P ， 1 2 3PPP是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以 1 2 3PPP边长为4； 32 2 212 3V AB 20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. BA CP3P1 P2整理人 谭峰 AC BD设常数 0a ，函数 2( ) 2xxaf xa . (1) 若 4a ，求函数 ( )y f x 的反函数 1( )y f x ； (2) 根据a的不同取值，讨论函数 ( )y f x 的奇偶性，并说明理由. 【解析】：（1） 4a ， 2 4( ) 2
12、 4xxf x y ，4 421x yy ， 24 4log1yxy ， 1 2 4 4( ) log 1xy f x x ， ( , 1) (1, )x （2）若 ( )f x 为偶函数，则 ( ) ( )f x f x ，2 22 2x xx xa aa a ， 整理得 (2 2 ) 0x xa ， 0a ，此时为偶函数 若 ( )f x 为奇函数，则 ( ) ( )f x f x ，2 22 2x xx xa aa a ， 整理得 2 1 0a ， 0a ， 1a ，此时为奇函数 当 (0,1) (1, )a 时，此时 ( )f x 既非奇函数也非偶函数 21. (本题满分14分) 本题
13、共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A B、 两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设点A B、 在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和 . (1) 设计中 CD 是铅垂方向 . 若要求2 ，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD与铅垂方向有偏差现在实测得 38.12 ， 18.45 ，求CD的长（结果精确到0.01米）. 【解析】：（1）设CD的长为x米，则tan ,tan35 80x x ， 2 02 ， tan tan2 ， 22tantan 1 tan ， 2 22 1608035 640016400xx xx x ， 解得0 20 2 28.28x ，CD的长至多为28.28米 （2）设 , ,DB a DA b DC m ， 180 123.43ADB ， 整理人 谭峰 则sin sina ABADB ，解得 115sin38.12 85.06sin123.
