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1、1.1数系的扩充,“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的”M.Kline数学确定性的丧失,数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些但是，历史有独特的自身发展逻辑事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了,“数系”的历史扩展途径“数系”的逻辑扩展途径,新数产生的原因,数是抽象思维的产物真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的数，只有自然
2、数其他的数，都需要进行理性思考才能获得数的概念产生于对实物的计量在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等,“新数”为何最初不被承认？,不能够测量并非非有不可不能够理解逻辑基础不清楚,“新数”为何最终获得承认？“因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”D.Hilbert论无限,
3、算法合理性是“新数”获得承认的主要原因算术到代数的演进加速了数系的形成广泛的应用促进广泛的承认“理想数”的思想,1.2数系的构造理论,1.2.1自然数的定义,自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+=b+，则a=b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。,例设mN,m0,那么，必有nN使得n+=m证明设集合A
4、由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继.设S=0A.显然,0S.若xS,由A的定义有x+A,因而x+S.由归纳公理知,S=N.因此，若mN,m0,就必有mA,即存在nN,使得n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。,加法,定义1自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何aN，a+0=a(2)对任何a,bNa+b+=(a+b)+,例证明2+3=5证明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5,例对任何aN，证明0+a=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，
5、结论显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0，则当a=n+时0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n+0结论亦成立。,乘法,定义2自然数集N上的二元运算“”称为乘法，满足条件：(1)对任何aN，a0=0(2)对任何a,bNab+=(ab)+a,例证明a3=a+a+a证明:a0=0a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=aa2=a1+=(a1)+a=a+aa3=a2+=(a2)+a=a+a+a,运算律,定理2对任何a,b,cN有加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.乘法交换律ab=ba
6、乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法相消律若a0,ab=ac,则b=c.若a0,ba=ca,则b=c.乘法对加法分配律a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,代数结构,定理3自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。,减法,加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义3设a，bN，若存在xN，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有(a-b)+b=a;除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。,例证明不存在xN，使得x+2=1成立.证明：反证法假使存在xN,满足
7、x+2=1,则(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0 x+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。,除法,乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义4设a，bN,b0,若存在xN，使xb=a，则称x=.根据定义，有除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。,例证明不存在xN，使得x2=1成立.证明：反证法假使存在xN,满足x2=1,则x+x=1显然x0,可设x=y+,所以y+y+=1(y+y)+)+=0+(y+y)+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。,自然数的序关系,定义5对给定的a,bN,若存在xN，使得b=a+x,则称ab,或ba.定理5关系“”
8、()是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6（最小自然数原理）(N,)是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。,定理7对任何aN,a0定理8若a,b,cN,则当ab时，a+cb+c当ab时，acbc所以，“”()是自然数集上的大小关系。,定义6若ab,且ab,则称aa.定理9“)也是自然数集上的大小关系。定理10（阿基米德性质）对于任意a，bN，a0，总存在nN，使nab.,1.2.2从自然数到整数,定义1NN上的关系“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)NN,如果a+db+c,则称(a,b)(c,d).定理1：关系“”是NN上的一个等价关系，即满足自反
9、性、对称性和传递性。定义2：NN按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.,定理2设Z+=(a,0)|aN-0Z-=(0,a)|aN-0则Z=Z+(0,0)Z-,且Z+,(0,0),Z-两两不相交.定义3称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。,整数集上的运算,定义4（整数加法）整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)Z,(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)(a2,b2),(c1,d1)(c2,d2),则(a
10、1+c1,b1+d1)(a2+c2,b2+d2).,定义5（整数乘法）整数集Z上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)Z,(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc)上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)(a2,b2),(c1,d1)(c2,d2),则(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).,定理3对任何a,b,cZ有加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.乘法交换律ab=ba乘法结合律(ab
11、)c=a(bc)乘法相消律若a0,0,ab=ac,则b=c.若a0,0,ba=ca,则b=c.乘法对加法分配律a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,定理4整数集是一个交换环，(a,a)是其零元，(a+1,a)是其单位元。(a,b)的负元是(b,a),单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。,减法,加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义6设a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，则称x=a-b.整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。,除法,乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义7设a，bZ,b(0,0),若存在xZ，使xb=a，则称x=.除单位元之外其他
12、整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。,整数集上的序关系,定义8对于任意(a,b),(c,d)Z,如果a+db+c,则称(a,b)(c,d)定理5关系“”是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。,定理6若a,b,cZ,则当ab时，a+cb+c当ab,(0,0)c时，acbc所以，“”是整数集上的大小关系。,整数集是自然数集的扩张,定理7整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,bN,都有f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a,bN,若ab,则f(a)f(b).证明：构造f:
13、NZ如下f(a)=(a,0)即可满足定理要求。,因此，以后我们可以对a与(a,0)不加区别地使用，从而有Z+=N-0.因为(0,a)是(a,0)的负元，所以我们也用-a表示(0,a).,1.2.3从整数到有理数,记Z0=Z+Z-.定义1ZZ0上的关系“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)ZZ0,如果adbc,则称(a,b)(c,d).定理1：关系“”是ZZ上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2：ZZ按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.,有理数集上的运算,定义3（有理数加法）有理数集Q上的
14、二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)Q,(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)(a2,b2),(c1,d1)(c2,d2),则(a1d1+b1c1,b1d1)(a2d2+b2c2,b2d2).,定义4（有理数乘法）有理数集Q上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)Q,(a,b)(c,d)=(ac,bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)(a2,b2),(c1,d1)(c2,d2),则(a1c1,b1d1)(a2c2,b
15、2d2).,定理2对任何a,b,cQ有加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.乘法交换律ab=ba乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法相消律若a(0,1),ab=ac,则b=c.若a(0,1),ba=ca,则b=c.乘法对加法分配律a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,定理3有理数集是一个域，(0,a)是其零元，(a,a)是其单位元。(a,b)的负元是(-a,b),(a,b)的逆元是(b,a).,减法,加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义5设a，bQ，若存在xQ，使x+b=a，则
16、称x=a-b.有理数都有负元保证了有理数集上减法的封闭性。,除法,乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义6设a，bQ,b(0,1),若存在xQ，使xb=a，则称x=.有理数都有逆元保证了有理数集上除法的封闭性。,有理数集上的序关系,定义7对于任意(a,b),(c,d)Q,如果abd2cdb2,则称(a,b)(c,d).定理4关系“”是有理数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。,定理5若a,b,cQ,则当ab时，a+cb+c当ab,(0,1)c时，acbc所以，“”是有理数集上的大小关系。,有理数集是整数集的扩张,定理6有理数Q是整数集Z的一个扩张，即存在一个Z到Q上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,bZ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a,bZ,若ab,则f(a)f(b).证明：构造f:ZQ如下f(a)=(a,1)即可满足定理要求。,因此，以后我们可以对a与(a,1)不加区别地使用.因为(a,b)=,所以我们也用表示(a,b).,1.2.4实数的构造,有理数集的缺陷有理数域缺乏连
