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1、3.4相互独立的随机变量,一、两个随机变量相互独立的概念,二、n个随机变量相互独立的概念,它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,一、两个随机变量相互独立的概念,两事件A,B独立指P(AB)=P(A)P(B),说明,(1)若离散型随机变量(X,Y)的分布律为,(3)定理设随机变量X与Y相互独立，令其中为连续函数，则U与V也相互独立,例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,XY0100.04a1b0.64,若X和Y相互独立,则a=_b=_,0.160.16,图,例2学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在79时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相
2、差不超过5分钟的概率,解设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻,由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为,返回,证:,对任何x,y有,取,X与Y相互独立,例3,故,所以X与Y相互独立,若对任意实数，均有,则称X1,X2,Xn相互独立.,设(X1,X2,Xn)的分布函数为F(X1,X2,Xn).,定理设(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)与Yj(j=1,2,n)相互独立.又若h,g为连续函数,则h(X1,X2,Xm)与g(Y1,Y2,Yn)相互独立.,若对任意实数x1,x2,xm;y1,y2,yn均有,则称X1,X2,Xn与Y1,Y2,Yn相互独立.,F
3、(x1,xm,y1,yn)=F1(x1,xm)F2(y1,yn),二、n个随机变量相互独立的概念,3.5二维随机变量的函数的分布,Z=X+Y的分布,三、最大值、最小值的分布,一、离散型随机变量的函数的分布,二、连续型随机变量的函数的分布,例1设(X,Y)的分布律为,X,Y,012,-12,0.20.30.10.10.10.2,解,(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2),-101234,(X,Y),Z=X+Y,Z=XY,0.20.30.10.10.10.2,0-1-2024,Z=XY,0.10.30.30.10.2,-2-1024,一、离散型随机变量的函数的分布,求(
4、1)Z=X+Y(2)Z=XY(3)Z=max(X,Y)(4)Z=min(X,Y)的分布律.,Z=max(X,Y),012222,X与Y独立，X,Y取0,1,2，则Z=X+YZ=max(X,Y)的分布律,设X与Y独立，分别服从参数为，的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布。,【注】分布具有可加性,二项分布的可加性（P89）,二、连续型随机变量的函数的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的分布.,一般方法：分布函数法,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为,1.Z=X+Y的分布,Z=X+Y的概率密度:,卷积公式,当X,Y相互独立时,例1设XN
5、(0,1),YN(0,1)且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。,Z=X+YN(0,2).,解,(2)若,一般结论：,(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且,且相互独立，则,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例2设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。,例2在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设R1,R2相互独立，它们的概率密度均为,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,解,x,z,z=x,z=x+10,例3设X1,X2相互独立分别服从参数为1,;2,的分布,即X1,X2的概率密度分别为,试证：X1+X2服从
6、参数为1+2,的分布.,注函数:,分布：若随机变量X的概率密度为,分布的性质：若X1(1,)，X2(2,)，且相互独立，则X1+X2(1+2,).,注函数:,则称X服从参数为,的分布.记为X(,).,若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为i,(i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n,的分布.,一般结论：,当z0时,证：,A,亦即Z=X1+X2服从参数为1+2,的分布,A的计算：,注函数:,若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为i,(i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n,的分布.,一般结论：,2.Z=Y/X的分布、Z=XY
7、的分布,设X,Y是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),则Z=Y/X、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度分别为,当X,Y相互独立时,证:,y=xz,G1,G2,y=xz,(z0),G1,G2,(z0),例3设X和Y分别表示两个不同电子元件的寿命，且相互独立,服从同一分布，其概率密度为,求Z=Y/X的概率密度.,解,x,z,xz=1000,1000,1,被积函数的非零区域,0，,三、最大值、最小值的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y).求M=maxX,Y及N=minX,Y的分布函数.,对任意实数z,设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分
8、别为FXi(xi)，则M=maxX1,X2,Xn与N=minX1,X2,Xn的分布函数分别为,推广：,特别，相互独立且具有相同的分布函数F(x)时，有,例4设系统L由两个相互独立的子系统组成,其寿命分别为X,Y其概率密度分别为其中0,0,.试求联接方式为：(1)串联，(2)并联（3）备用时系统L的寿命Z的概率密度,解,(1)串联系统：此时有Z=minX,Y,并联系统：,此时有Z=maxX,Y,例设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为,若各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度.,若X是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，X和Y相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？,作业,第86-89第三章习题,18；20；23；24；28;30;31；36,精品课件资料分享,SL出品,
