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1、第一章多元正态分布,目录上页下页返回结束,1.1多元分布的基本概念,1.2统计距离和马氏距离,1.3多元正态分布,1.4均值向量和协方差阵的估计,1.5常用分布及抽样分布,第一章多元正态分布,一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。,目录上页下页返回结束,第一章多元正态分布,多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元分布、多元分布、多元
2、指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。,目录上页下页返回结束,1.1多元分布的基本概念,目录上页下页返回结束,1.1.1随机向量,1.1.2分布函数与密度函数,1.1.3多元变量的独立性,1.1.4随机向量的数字特征,横看表1-1，记，它表示第个样品的观测值。竖看表1-1,第列的元素表示对第个变量的n次观测数值。下面为表1-1,目录上页下页返回结束,1.1.1随机向量,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,7,因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:,定义1.1设为个随机变量，由它们组成的向量称为随机向量。,目录上页下页返
3、回结束,1.1.1随机向量,若无特别说明，本书所称向量均指列向量,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,8,定义1.2设是一随机向量，它的多元分布函数是,式中，并记成。,1.1.2分布函数与密度函数,描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。,目录上页下页返回结束,多元分布函数的有关性质此处从略。,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,9,1.1.2分布函数与密度函数,目录上页下页返回结束,定义1.3：设=,若存在一个非负的函数,使得,对一切成立，则称（或）有分布密度并称为连续型随机向量。,一个维变量的函数能作为中某个随
4、机向量的分布密度，当且仅当,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,10,1.1.3多元变量的独立性,目录上页下页返回结束,注意:在上述定义中，和的维数一般是不同的。,若有密度，用分别表示和的分布密度，则和独立当且仅当(1.5),2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,11,1.1.4随机向量的数字特征,是一个维向量，称为均值向量.,目录上页下页返回结束,当为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：,1、随机向量的均值设有个分量。若存在，定义随机向量的均值为,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,12,1.1.4随机向量的数字特征,目录上页下页返
5、回结束,2、随机向量自协方差阵,称它为维随机向量的协方差阵，简称为的协方差阵。称为的广义方差，它是协差阵的行列式之值。,目录上页下页返回结束,1.1.4随机向量的数字特征,3、随机向量X和Y的协差阵,设分别为维和维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个矩阵，其元素是，即,当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：,目录上页下页返回结束,1.1.4随机向量的数字特征,（3）设X为维随机向量，期望和协方差存在记则,对于任何随机向量来说，其协差阵都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。,目录上页下页返回结束,1.1.4随机向量的数字特征,4、随机向量X的相关阵若随
6、机向量的协差阵存在,且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:,也称为分量与之间的（线性）相关系数。,在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换,目录上页下页返回结束,1.1.4随机向量的数字特征,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,随机向量数字特征的例子,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,例1-1,例1-1焊接技术培训班有10名学生：基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）的成绩如表1-1所示（数据文件MV_焊接成绩.BTW）。,中国人民大学六西格玛质量管理研究
7、中心,例1-1,请注意：样本资料阵在形式上与在MINITAB软件中的工作表是完全一致的，工作表的第i行表示第i个样品，工作表的第j列表示对第j个变量的观测值，变量名称常列在表头,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本均值向量的计算,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算,由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了协方差阵的下三角部分，所以整个样本协方差阵全部写出则应是：如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵而不是三角阵，这个矩阵对角线上的3个数74.622
8、2、70.2222、34.9，分别是基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）三门课成绩的样本方差。样本离差阵等于样本协方差阵乘以n1，所以例1-1样本离差阵就是,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本相关阵R计算：,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本相关阵R计算：,由于样本相关阵是对称的，对角线上全是1，会话区窗口结果中只显示了扣除对角线后的下三角部分，所以整个样本相关阵全部写出则应是：,如果采用存储功能，则存储的样本相关阵就是方阵而不是三角阵。,1.2统计距离和马氏距离,目录上页下页返回结束,欧氏距离,马氏距离,1.2统计距离和马氏距离,欧氏距离,在
9、多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有,目录上页下页返回结束,1.2统计距离和马氏距离,但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，“距
10、离”的大小竟然与指标的单位有关。,目录上页下页返回结束,1.2统计距离和马氏距离,目录上页下页返回结束,例如，横轴代表重量（以kg为单位），纵轴代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见图1.1，它们的坐标如图1.1所示,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,29,1.2统计距离和马氏距离,目录上页下页返回结束,这时,显然AB比CD要长。,现在，如果用mm作单位，单位保持不变，此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则,结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。,1.2统计距离和马氏距离,目录上页下页返回结束,因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够体现各个
11、变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。因此，采用“统计距离”这个术语，以区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。,1.2统计距离和马氏距离,目录上页下页返回结束,下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。,设有两个一维正态总体。若有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由图1-2,图1-2,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,32,1.2统计距离和马氏距离,目录上
12、页下页返回结束,由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,即A点到比A点到要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比较的是A点坐标与到值之差的绝对值），但从概率观点来看，A点在右侧约4处，A点在的左侧约3处，若以标准差的观点来衡量，A点离比A点离要“近一些”。显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵的逆矩阵，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。,1.2统计距离和马氏距离,马氏距离,设X、Y从均值向量为，协方差阵为的总体G中抽取的两个样品，定义X
13、、Y两点之间的马氏距离为,目录上页下页返回结束,1.2统计距离和马氏距离,设表示一个点集，表示距离，它是到的函数，可以证明,马氏距离符合如下距离的四条基本公理:,（2）当且仅当；,（3）,（4）,目录上页下页返回结束,1.3多元正态分布,多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。,目录上页下页返回结束,1.3多元正态分布,目录上页下页返回结束,2
14、020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,37,1.3.1多元正态分布的定义,|为协差阵的行列式。,目录上页下页返回结束,定义1.5：若元随机向量的概率密度函数为：,则称遵从元正态分布，也称X为元正态变量。记为,定理1.1将正态分布的参数和赋于了明确的统计意义。有关这个定理的证明可参见文献3。,多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献3。,目录上页下页返回结束,1.3.1多元正态分布的定义,定理1.1：设则,1.3.2多元正态分布的性质,目录上页下页返回结束,1、如果正态随机向量的协方差阵
15、是对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。证明参见文献4，p.33。,容易验证，但显然不是正态分布。,2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。例如，设有分布密度,2020/7/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,40,1.3.2多元正态分布的性质,目录上页下页返回结束,3、多元正态向量的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设，而维随机向量，其中是阶的常数矩阵，是维的常向量。则维随机向量也是正态的，且。即遵从元正态分布，其均值向量为，协差阵为。,4、若，则若为定值，随
16、着的变化其轨迹为一椭球面，是的密度函数的等值面.若给定，则为到的马氏距离。,1.3.3条件分布和独立性,目录上页下页返回结束,我们希望求给定的条件分布，即的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。,设p2,将X、和剖分如下：,证明参见文献3。,目录上页下页返回结束,1.3.3条件分布和独立性,定理1.2：设，0，则,(1.28),目录上页下页返回结束,1.3.3条件分布和独立性,定理1.3：设，0，将X，剖分如下：,则有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：,(1.29),(1.30),证明参见3,目录上页下页返回结束,1.3.3条件分布和独立性,服装标准例子,定理1.2和定理1.3在20世纪70年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献3。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：,X1
