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1、第一节向量的内积,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义1,内积,一、内积的定义及性质,说明,1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,内积的运算性质,解,单位向量,夹角,正交的概念,正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明,正交向量组的性质,例1已知三维向量空间中两个向量,正交，试求使构成三维空间的一个正交基.,向量空间的正交基,即,解之得,由上可知构成三维空间的一个正交基.,则有,解,规范正交基,例如,同理可知,（1）正交化，取，,求规范正交基的方法,（2）单位化，取,解先正交化，,取,施密
2、特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,几何解释,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义4,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交,性质正交变换保持向量的长度不变,证明,例判别下列矩阵是否为正交阵,定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例,解,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,五、小结,2为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解
3、答,第二节方阵的特征值与特征向量,扬州大学数学科学学院,线性代数,说明,一、特征值与特征向量的概念,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,例5设A是阶方阵，其特征多项式为,解,三、特征值与特征向量的求法,求矩阵特征值与特征向量的
4、步骤：,四、小结,思考题,思考题解答,第三节相似矩阵,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、相似矩阵与相似变换的概念,1.等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,证明,推论若阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.,定理,证明,证明,三、利用相似变换将方阵对角化,命题得证.,说明,如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化,例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以可对角化.
5、,注意,即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,四、小结,相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵,思考题,思考题解答,第四节对称矩阵的相似矩阵,扬州大学数学科学学院,线性代数,定理1对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称
6、矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,证明,它们的重数依次为,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：,设的互不相等的特征值为,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得个.,故这个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,解,例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.,(1)第一步求的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步将特征向量正交化,第四
7、步将特征向量单位化,于是得正交阵,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化,思考题,思考题解答,第五节二次型及其标准形,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型
8、的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即为对称矩阵.,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,五、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之
9、间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法,2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法,思考题,思考题解答,第六节用配方法化二次型为标准形,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配
10、方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,二、小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；
11、如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,思考题,思考题解答,第七节正定二次型,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故
12、,推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即,对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知是正定矩阵，,解,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩
13、阵）相应的判别方法，请大家自己推导,思考题,思考题解答,第五章习题课,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义,向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：,向量的长度,定义,向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基,定理,定义,正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步正交化,第二步单位化,定义,正交矩阵与正交变换,方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交,定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义,方阵的特征值和特征向量,有关特征值的一些结论,定理,定理属于同
14、一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,有关特征向量的一些结论,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性,相似矩阵,有关相似矩阵的性质,若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同,(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量,(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似,实对称矩阵的相似矩阵,定义,二次型,二次型与它的矩阵是一一对应的,定义,二次型的标准形,化二次型为标准形,定义,正定二次型,惯性定理,注意,正定二次型的判定,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典型例题,二、将线性无关向量组化为正交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、
15、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值,五、求方阵的特征多项式,六、关于特征值的其它问题,七、判断方阵可否对角化,八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,一、证明所给矩阵为正交矩阵,证明,将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化,二、将线性无关向量组化为正交单位向量组,解一先正交化，再单位化,解二同时进行正交化与单位化,第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量,三、特征值与特征向量的求法,第一步计算的特征多项式；,第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；,解第一步计算的特征多项式,第三步求出的全部特征向量,解,四、已知A的特征值，求与A相关矩阵的特征值,解,五、求方阵的特征多项式,解,六、关于特征值的其它问题,方法一,方法二,方法三,解,七、判断方阵可否对角化,解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值,解第一步求A的特征值由,八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,解第一步将表成矩阵形式,解,第五章测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),二、计算题（共40分）,三、证明题（共20分）,四、（8分）设二次型,经正交变换化成,测试题答案,
