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1、 专题五 数列与相关知识的综合【典型例题】例1：在平面上有一点列。对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若，以为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大的项数。例2：已知首项为，公比为的等比数列，为它的前项和。（1） 用表示；（2）是否存在正整数和，使得成立？例3：设是二次曲线上的点，且，构成一个公差为的等差数列，其中为坐标原点，记。（1）若的方程，点且，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为，点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值；（3）请选定一条除椭圆
2、外的二次曲线及上一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，存在的充要条件，并说明理由。例4：已知以为首项的数列满足：。（1）当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前项的和；（3）当（是正整数），正整数时，求证：数列，成等比数列当且仅当。【巩固练习】1记数列的前项和为，若，则数列的通项 ；2设为等差数列，从中任取个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 个。解：由于下标成等差数列，所以首末项下标同奇偶3。设展开式中项的系数为，则 ；设展开式中的系数为，则 ；4已知数列的通项公式是，若对于一切大于的自然数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ；5设为正整数，在的范围内，使
3、函数取整数函数值的的个数记为；设，若为单调递增数列，则的取值范围为 ；6数列共有项（为定值），它的前项和，现从项中抽取某一项（不抽首项和末项），余下的的平均值是。则数列的通项 ；数列的项数 ；抽取的是第 项。7已知是递增数列，且对任意，都有，则实数的取值范围是 ； 8已知二次函数，当时，其抛物线在轴上截得的线段长依次为，则的值为 ；9已知，则数列的最小值为（ ）A B C D 10若数列的前项的值各异，且对任意都成立，则可取遍前项值的数列可表示为（ ）A B C D11已知分别是轴、轴正方向上的单位向量，对任意的正整数，（1）若，求的值；（2）求；（3）设向量，求最大的整数，使得对任意的正整数
4、，都有。12已知数列是首项为，公比为的等比数列。（1）求和：；（2）由（1）的结果归纳概括出正整数的一个结论，并加以证明；（3）设，是等比数列的前项的和，求。13已知函数，其中，。（1）在坐标系上画出的图象；（2）设的反函数为，求数列的通项公式，并求；（3）若，求。14函数是定义在上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分。（1）求及的值，并归纳出的表达式；（2）设直线，轴及的图象围成的梯形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。 专题五 数列与相关知识的综合答案【典型例题】例1：在平面上有一点列。对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以
5、为顶点的等腰三角形。（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若，以为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大的项数。解：（1）由，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形知，。（2）函数递减，对，有，则以为边能构成一个三角形的充要条件是，即。解之得或，。（3），于是。数列是一个递减的正项数列，对每一个自然数，有，于是当时，；当，故数列的最大项的项数满足不等式，且。由，解得，。例2：已知首项为，公比为的等比数列，为它的前项和。（2） 用表示；（2）是否存在正整数和，使得成立？解：（1）由条件可知。则。（2）要使，即，只要满足。，不存在满足条件的正整数和。
6、注：当然本题同学们很多都是用主元思想做的，即把或者当作主元来解分是方程，例：以为主元例3：设是二次曲线上的点，且，构成一个公差为的等差数列，其中为坐标原点，记。（1）若的方程，点且，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为，点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，存在的充要条件，并说明理由。解：（1），由，得。由，解得点的坐标可以为。（2）原点到二次曲线上各点的最小距离为，最大距离为。，且。，在上递增。故的最小值为。（3）若双曲线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。原点到双曲线上各点的距离，且，点存
7、在当且仅当，即。若抛物线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。理由同上。若圆，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。原点到圆上各点的最小距离为，最大距离为，且，且，即。例4：已知以为首项的数列满足：。（1）当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前项的和；（3）当（是正整数），正整数时，求证：数列，成等比数列当且仅当。解：本题的关键是找准等差的项数，即每个的范围和公差的大小。本题其实不难，就是参数较多，要帮助学生分析关键的量，帮助他们确定数列的关键样子，另外每次除以后通过换行写成数阵形式也是很关键的一种简化思想的方法。 （1）由题意得（2）当时，。（3）当时，；，；，；，。，。综上所
8、述，当时，数列，是公比为的等比数列。当时，。由于，故数列，不是等比数列。所以，数列，成等比数列当且仅当。【巩固练习】1记数列的前项和为，若，则数列的通项 ；2设为等差数列，从中任取个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 个。解：由于下标成等差数列，所以首末项下标同奇偶3。设展开式中项的系数为，则 ；设展开式中的系数为，则 ；解：，是集合中所有两数之积的和，计算方法主要由两个，递推：找到；利用公式：，所以4已知数列的通项公式是，若对于一切大于的自然数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ；解：，所以为单增数列，所以原不等式恒成立的充要条件是：5设为正整数，在的范围内，使函数取整
9、数函数值的的个数记为；设，若为单调递增数列，则的取值范围为 ；解：且与一一对应，记值域中的最小整数为，最大整数为，那么易知：当为偶数时当为奇数时所以，看成关于的二次函数，那么对称轴即可。这里注意对称轴的范围和一般的二次函数单调时有所不同。6数列共有项（为定值），它的前项和，现从项中抽取某一项（不抽首项和末项），余下的的平均值是。则数列的通项 ；数列的项数 ；抽取的是第 项。解：且代入不等式：中可得：，所以7已知是递增数列，且对任意，都有，则实数的取值范围是 ； 解：恒成立。8已知二次函数，当时，其抛物线在轴上截得的线段长依次为，则的值为 ；解：D9已知，则数列的最小值为（ ）A B C D 解
10、：，所以C10若数列的前项的值各异，且对任意都成立，则可取遍前项值的数列可表示为（ ）A B C D解：充分列举即可11已知分别是轴、轴正方向上的单位向量，对任意的正整数，（1）若，求的值；（2）求；（3）设向量，求最大的整数，使得对任意的正整数，都有。解：（1），（2），设，而，所以， ，由得，由得，所以。（3）即使恒成立，即恒成立，设，由，得，即的最小值是所以注：我个人认为完全是多做了无用功，用就可以分析出我们所要的结果了，计算量上会小很多。12已知数列是首项为，公比为的等比数列。（1）求和：；（2）由（1）的结果归纳概括出正整数的一个结论，并加以证明；（3）设，是等比数列的前项的和，求。
11、解：（1），（2）概括的结论为：（）证明：。（3）因为，所以。故。13已知函数，其中，。（1）在坐标系上画出的图象；（2）设的反函数为，求数列的通项公式，并求；（3）若，求。解：（1）图象过点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段。（2）的反函数为：。由已知条件得：，所以。即，所以。（3）由已知，所以，由的值域，得，所以。由，整理得，解得。因为，所以。14函数是定义在上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分。（1）求及的值，并归纳出的表达式；（2）设直线，轴及的图象围成的梯形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。解：（1）由，得。由及，得。同理，。归纳得。（2）当时，所以是首项为，公比为的等比数列，所以。的定义域为，当时取得最小值。注：本题中的左开右闭区间是非常关键的，意味着函数可能并不是一个连续的函数，很多同学的答案是显然就范了这样的错误。如果对于图像有比较深刻的认识，那么通过数形结合就很容易得出第二小题的答案了。用心 爱心 专心
